Question

пусть х1 и х2 корни равнения 2х^2-5x-4=0 не вычисляя корней, нйдите значения: 1/х1^2+1/х2^2 x1x2^4+x2x1^4

Answer 1

По теореме Виета
x1*x2 = c/a = -4/2 = -2
x1 + x2 = -b/a = 5/2 = 2,5
Теперь решаем
1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2)/(x1^2*x2^2)
Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
x1^2 + x2^2 = x1^2 +2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 =
= 2,5^2 - 2(-2) = 6,25 + 4 = 10,25
Знаменатель:
x1^2*x2^2 = (x1*x2)^2 = (-2)^2 = 4
Дробь:
10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16
2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2*(x2^3+x1^3) = x1*x2*(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
= (-2)*2,5*(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = -5*((x1+x2)^2-3x1*x2) =
= -5*(2,5^2-3(-2)) = -5*(6,25+6) = -5*12,25 = -61,25 = -245/4

Answer 2

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2, справедливы следующие свойства:

1. Сумма корней: x1 + x2 = -b/a.
2. Произведение корней: x1 * x2 = c/a.

Используя эти свойства, можно найти значение выражения 1/х1^2 + 1/х2^2:

1/х1^2 + 1/х2^2 = (х2^2 + х1^2) / (х1^2 * х2^2)

Заменим здесь х1^2 и х2^2 значениями, найденными из свойств:

1/х1^2 + 1/х2^2 = (х2^2 + х1^2) / (х1^2 * х2^2) = (x1^2 + x2^2) / (x1^2 * x2^2) = (x1^2 + x2^2) / (c^2 / a^2) = a^2 * (x1^2 + x2^2) / c^2

Теперь нам нужно найти значение выражения x1x2^4 + x2x1^4:

x1x2^4 + x2x1^4 = x1 * x2^4 + x2 * x1^4 = x1 * (x2^4) + x2 * (x1^4)

Здесь мы можем использовать свойство, что x1 * x2 = c/a:

x1x2^4 + x2x1^4 = x1 * (x2^4) + x2 * (x1^4) = (c/a) * (x2^4) + (c/a) * (x1^4) = c * (x2^4 + x1^4) / a

Таким образом, мы нашли значения данных выражений:

1/х1^2 + 1/х2^2 = a^2 * (x1^2 + x2^2) / c^2

x1x2^4 + x2x1^4 = c * (x2^4 + x1^4) / a

Примечание: Чтобы получить окончательные значения, необходимо знать конкретные значения a, b и c, что не указано в исходном уравнении. Если известны значения a, b и c, то можно найти х1 и х2, и подставить их значения в данные выражения.