Question

СРОЧНО! Надо успеть до завтра.Условия: Пусть x1 и x2-корни квадратного уравнения ax^2+ bx+c=0, где с =/= (не равно) 0. Выразить через коэффициенты a, b, c следующие выражения:a) x1^2+x2^2b) x1^3+x2^3c) 1/x1 + 1/x2d) x2x1^2+x1x2^2e) x1^3-x2^3Если что-то не понятно то фото прикрепила.

Answer 1

Ax² + bx + c = 0
x² + bx/a + c/a = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a 

Для случая под буквой (д) найдём дискриминант и корни:
D = b² - 4ac
x₁ = [-b + √(b² - 4ac)]/2a
x₂ = [-b - √(b² - 4ac)]/2a
x₁ - x₂ = [-b + √(b² - 4ac)]/2a - [-b - √(b² - 4ac)]/2a = [-b + √(b² - 4ac) + b +√(b² - 4ac)]/2a = 2√(b² - 4ac)/2a = [√(b² - 4ac)]/a

а) x₁² + x₂² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = b²/a² - 2c/a

б) x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²) = (x₁ + x₂)(x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 3x₁x₂) = (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂] = -b/a·(b²/a² - 3c/a) = -b³/a³ + 3cb/a²

в) 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/x₁x₂ = -b/a:c/a = -b/c

г) x₂x₁² + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = -b/a·c/a = -bc/a²

д) x₁³ - x₂³ = (x₁ - x₂)(x₁² + x₁x₂ + x₂²) = (x₁ - x₂)(x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - x₁x₂) = (x₁ - x₂)[(x₁ + x₂)² - x₁x₂] = [√(b² - 4ac)]/a·(b²/a² - c/a) = [√(b² - 4ac)]·(b²/a - c)/a²