Question

Найдите точку максимума функции y = ln(x + 15)^16 - 16x

Answer 1

$y=ln(x+15)^{16}-16x=16\cdot ln(x+15)+16x\; \; ,\; \; ODZ:\; x>-15\\\\y'=16\cdot \frac{1}{x+15}-16=16\cdot (\frac{1}{x+15}-1)=0\; \; \Rightarrow \frac{1}{x+15}-1=0\\\\\frac{1-x-15}{x+15}=0\; \; \Rightarrow \; \; -x-14=0\; ,\; x\ne -15\\\\x=-14\; \; \; \; kriticheskaya\; (stacionanaya)\; tochka\\\\znaki\; y':\; \; \; ---(-15)+++(-14)---\\\\y(x):\; \quad \qquad \; \; \; (-15) \; \; \nearrow \; \; (-14)\; \; \searrow \\\\\underline {x_{max}=-14}\\\\y_{max}=ln(-14+15)^{16}-16\cdot (-14)=\underbrace {ln1}_{0}+224=224$

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = ln(x + 15)^16 - 16x, нужно найти значение x, при котором производная функции равна нулю. То есть, мы ищем x, для которого dy/dx = 0.

Давайте найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю:

y = ln(x + 15)^16 - 16x

Дифференцируем обе части уравнения по x:

dy/dx = d/dx (ln(x + 15)^16) - d/dx (16x)

Для первого слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции:

d/dx (ln(u)^n) = n * (du/dx) / u,

где u = (x + 15) и n = 16.

dy/dx = 16 * (d/dx (x + 15) / (x + 15)^16 - 16

Теперь найдем производную (d/dx (x + 15)):

d/dx (x + 15) = 1.

Подставим этот результат обратно в уравнение:

dy/dx = 16 / (x + 15)^16 - 16

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

16 / (x + 15)^16 - 16 = 0

16 = 16 * (x + 15)^16

Теперь разделим обе части на 16:

1 = (x + 15)^16

Возведем обе части в степень 1/16:

x + 15 = 1^(1/16) = 1

Теперь вычтем 15 из обеих сторон:

x = 1 - 15

x = -14

Таким образом, точка максимума функции находится при x = -14. Чтобы найти значение y в этой точке, подставим x = -14 в исходную функцию:

y = ln((-14) + 15)^16 - 16(-14) y = ln(1)^16 + 224 y = 0 + 224 y = 224

Таким образом, точка максимума функции находится в точке (-14, 224).