Question

Напишите пожалуйста подробное решение Сколько имеет корней заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр 3x²-x³=a 0<а<4?

Answer 1

Можем решить это задание при помощи графика. Параметр a =y ,а

это-прямая ,параллельная оси 0x . Значит,найдем кол-во точек,которые пересечет данная прямая. Их 3 на заданном промежутке,значит, данное уравнение при указанных ограничениях на параметрах имеет 3 корня.

Answer 2

Для нахождения количества корней уравнения $3x^2 - x^3 = a$, где $0 < a < 4$, нужно проанализировать зависимость между значением параметра $a$ и количеством корней уравнения. Мы можем решить данную задачу графически, используя график уравнения.

1. Зависимость уравнения от $a$: Уравнение $3x^2 - x^3 = a$ является уравнением третьей степени, и его график представляет собой кубическую кривую. Кривая будет различной для разных значений параметра $a$. Нам интересует, сколько раз кривая пересекает ось $x$ при данных ограничениях на $a$.

2. Поиск критических точек: Для начала, найдем точки, где производная уравнения равна нулю. Эти точки могут быть критическими точками, в которых кривая меняет направление и пересекает ось $x$. Найдем производную уравнения по $x$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 0$

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Таким образом, критическими точками являются $x = 0$ и $x = 2$.

3. Анализ кривой и количества корней: Теперь построим график уравнения $3x^2 - x^3$ при $0 < a < 4$. У нас есть две критические точки $x = 0$ и $x = 2$, и ограничения на $a$ равны $0 < a < 4$.

На графике будут три основных сценария:

• Сценарий 1: $a = 0$. В этом случае у нас есть уравнение $3x^2 - x^3 = 0$. График будет касаться оси $x$ в точке $x = 0$, и это будет единственный корень уравнения.

• Сценарий 2: $0 < a < 4$ и $a \neq 0$. В этом случае, когда параметр $a$ увеличивается от 0 до 4, кривая будет пересекать ось $x$ дважды. Один корень будет в точке $x = 0$, а второй корень будет в точке $x = 2$.

• Сценарий 3: $a = 4$. При $a = 4$ у нас будет уравнение $3x^2 - x^3 = 4$. График также будет пересекать ось $x$ дважды, но одна из точек будет в $x = 0$, а вторая точка будет находиться вне графика.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$ уравнение $3x^2 - x^3 = a$ может иметь один или два корня. Важно отметить, что при $a = 4$ уравнение тоже имеет два корня, но один из них находится за пределами интервала $0 < x < 4$ и, следовательно, не удовлетворяет нашим ограничениям на $x$.