Question

(x^2+5x+1)^2+5(x^2+5x+1)+1=7x+4 можно как нибудь подобное решить?

Answer 1

(x²+5x+1)²+5(x²+5x+1)+1=7x+4
(x²+5x+1)²=7x+4-1-5x²-25x-5
(x²+5x+1)²=-5x²-18x-2

Построим
y=(x²+5x+1)² (синий график)
y= -5x²-18x-2 ( красный график)

см фото
среди действительных корней
лишь два
х1≈ - 0.12
х2≈ - 1.18

PS
Можно разложить уравнение до вида:
x⁴+10x³+32x²+28x+3=0
и решить его по формулам Кардано-Виетта

PPS: К сожалению, красивого решения с изящными заменами не нашёл.
Надеюсь, в условии ошибки нет.

Answer 2

Да, можно решить это уравнение с помощью подстановки. Для этого дадим новое обозначение: пусть $y = x^2 + 5x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + 5y + 1 = 7x + 4$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Для этого приведем уравнение к квадратному виду:

$y^2 + 5y + 1 - (7x + 4) = 0$

$y^2 + 5y - 7x - 3 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение относительно $y$, используя квадратное уравнение $ay^2 + by + c = 0$:

$a = 1, \quad b = 5, \quad c = -7x - 3$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7x - 3)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 28x + 12}}{2}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{28x + 37}}{2}$

Таким образом, мы нашли выражение для $y$ через $x$. Теперь подставим обратно в исходное уравнение:

$x^2 + 5x + 1 = \frac{-5 \pm \sqrt{28x + 37}}{2}$

Теперь у нас есть два квадратных уравнения, которые можно решить для $x$:

1. $x^2 + 5x + 1 = \frac{-5 + \sqrt{28x + 37}}{2}$
2. $x^2 + 5x + 1 = \frac{-5 - \sqrt{28x + 37}}{2}$

Решение каждого из этих уравнений даст нам два значения $x$. Обратите внимание, что в итоговых решениях могут возникнуть квадратные корни и выражения под корнем, что сделает их довольно громоздкими. Однако таким образом можно найти значения $x$ для данного уравнения.