Question

Решите тригонометрическое уравнение: 1) 4sin^2x-sin2x=3 2) sin2x+8sin^2x=5 3) 10cos^2x-2sin2x=3

Answer 1

$1) \: \: 4 {sin}^{2} x - sin2x = 3 \\ 4 {sin}^{2} x - sin2x - 3 = 0 \\ 4 {sin}^{2} x - 2sinxcosx - 3( {sin}^{2} x + {cos}^{2} x) = 0 \\ 4 {sin}^{2} x - 2sinxcosx - 3 {sin}^{2} x - 3 {cos}^{2} x = 0 \\ {sin}^{2} x - 2sinxcosx - 3 {cos}^{2} x = 0 \\ \frac{ {sin}^{2} x}{ {cos}^{2} x} - \frac{2sinxcosx}{ {cos}^{2} x} - \frac{3 {cos}^{2} x}{ {cos}^{2} x} = 0 \\ {tg}^{2} x - 2tgx - 3 = 0 \\ tgx = t \\ {t}^{2} - 2t - 3 = 0 \\ d = {b}^{2} - 4ac = 4 - 4 \times ( - 3) = 16 \\ t1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ t2 = \frac{2 - 4}{2} = - 1 \\ 1)tgx = 3 \\ x = arctg3 + \pi n \\ 2) tgx = - 1 \\ x = - \frac{\pi}{4} + \pi n$
Ответ; arctg3 + pi*n; -pi/4 + pi*n, n € Z.

2)
$sin2x + 8 {sin}^{2} x = 5 \\ sin2x + 8 {sin}^{2} x - 5 = 0 \\ 2sinxcosx + 8 {sin}^{2} x - 5( {sin}^{2} x + {cos}^{2} x) = 0 \\2sinxcosx + 8 {sin}^{2} x - 5 {sin}^{2} x - 5 {cos}^{2} x = 0 \\ 3 {sin}^{2} x + 2sinxcosx - 5 {cos}^{2} x = 0 \\ \frac{3 {sin}^{2} x}{ {cos}^{2} x} + \frac{2sinxcosx}{ {cos}^{2}x } - \frac{5 {cos}^{2} x}{ {cos}^{2}x } = 0 \\ 3 {tg}^{2} x + 2tgx - 5 = 0 \\ tgx = t \\ 3 {t}^{2} + 2t - 5 = 0 \\ d = {b}^{2} - 4ac = 4 - 4 \times 3 \times ( - 5) = 64 \\ t1 = \frac{ - 2 + 8}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1 \\ t2 = \frac{ - 2 - 8}{2 \times 3} = \frac{ - 10}{6} = - \frac{5}{3} \\ 1)tgx = 1 \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ 2)tgx = - \frac{5}{3} \\ x = - arctg \frac{5}{3} + \pi n$
Ответ: pi/4 + pi*n; -arctg5/3 + pi*n, n € Z.

3)
$10 {cos}^{2} x - 2sin2x = 3 \\ 10 {cos}^{2} x - 4sin2x - 3 = 0 \\ 10 {cos}^{2} x - 4sinxcosx - 3( {sin}^{2} x + {cos}^{2} x ) = 0 \\ 10 {cos}^{2} x - 4sinxcosx - 3 {sin}^{2} x - 3 {cos}^{2} x = 0 \\ 7 {cos}^{2} x - 4sinxcosx - 3 {sin}^{2} x = 0 \\ \frac{7 {cos}^{2} x}{ {cos}^{2} x} - \frac{4sinxcosx}{ {cos}^{2}x } - \frac{3 {sin}^{2} x}{ {cos}^{2} x} = 0 \\ 7 - 4tgx - 3 {tg}^{2} x = 0 \\ 3 {tg}^{2} x + 4tgx - 7 = 0 \\ tgx = t \\ 3 {t}^{2} + 4t - 7 = 0 \\ d = {b}^{2} - 4ac = 16 - 4 \times 3 \times ( - 7 ) = 100 \\ t1 = \frac{ - 4 + 10}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1 \\ t2 = \frac{ - 4 - 10}{2 \times 3} = \frac{ - 14}{6} = - \frac{7}{3} \\ 1)tgx = 1 \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \\ 2)tgx = - \frac{7}{3} \\ x = - arctg \frac{7}{3} + \pi n$
Ответ: pi/4 + pi*n; -arctg7/3 + pi*n, n € Z.

Answer 2

Давайте решим каждое из данных тригонометрических уравнений по очереди:

1. Уравнение: 4sin^2x - sin2x = 3

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

a) sin2x = 2sinx*cosx b) sin^2x + cos^2x = 1

Заменим sin2x в уравнении (1) с помощью (a):

4sin^2x - 2sinx*cosx = 3

Теперь перепишем уравнение с одной переменной:

4sin^2x - 2sinx*cosx - 3 = 0

Обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

4t^2 - 2t - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно t:

t = (2 ± √(2^2 - 4 * 4 * (-3))) / 2 * 4

t = (2 ± √(4 + 48)) / 8

t = (2 ± √52) / 8

Таким образом, получим два значения для sinx:

t1 = (2 + √52) / 8 ≈ 0.616 t2 = (2 - √52) / 8 ≈ -0.165

Так как sinx не может быть больше 1 по модулю, отбросим второй корень.

Теперь найдем x:

x = arcsin(t1)

x ≈ arcsin(0.616)

x ≈ 37.03°

Итак, одно из решений уравнения 4sin^2x - sin2x = 3:

x ≈ 37.03°

2. Уравнение: sin2x + 8sin^2x = 5

Для этого уравнения также воспользуемся тригонометрическими тождествами (a) и (b):

sin2x = 2sinx*cosx

sin^2x + cos^2x = 1

Подставим sin2x из (a) в уравнение (2):

2sinx*cosx + 8sin^2x - 5 = 0

Обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

2t*cosx + 8t^2 - 5 = 0

Данное уравнение не может быть решено аналитически. Для нахождения приближенного численного решения, можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона.

3. Уравнение: 10cos^2x - 2sin2x = 3

Для этого уравнения также воспользуемся тригонометрическими тождествами (a):

sin2x = 2sinx*cosx

Подставим sin2x из (a) в уравнение (3):

10cos^2x - 2(2sinx*cosx) = 3

Упростим уравнение:

10cos^2x - 4sinx*cosx - 3 = 0

Обозначим cosx = t, тогда уравнение примет вид:

10t^2 - 4t - 3 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t:

t = (4 ± √(4^2 - 4 * 10 * (-3))) / 2 * 10

t = (4 ± √(16 + 120)) / 20

t = (4 ± √136) / 20

Таким образом, получим два значения для cosx:

t1 = (4 + √136) / 20 ≈ 0.671 t2 = (4 - √136) / 20 ≈ -0.171

Так как cosx не может быть больше 1 по модулю, отбросим второй корень.

Теперь найдем x:

x = arccos(t1)

x ≈ arccos(0.671)

x ≈ 46.39°

Итак, одно из решений уравнения 10cos^2x - 2sin2x = 3:

x ≈ 46.39°

Пожалуйста, обратите внимание, что для уравнений 2) и 3) потребовалось применить численные методы для получения численных значений решений.