Question

Сумма двух трехзначных чисел , написанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найти эти числа, если сумма цифр каждого из них равна 14, а сумма квадратов цифр 84

Answer 1

Ответ:

824 и 428

Объяснение:

Пусть $\displaystyle \tt x=\overline{abc}=100 \cdot a+10 \cdot b+c$ и $\displaystyle \tt y=\overline{cba}=100 \cdot c +10 \cdot b +a$ искомые числа, где 1≤a≤9, 0≤b≤9 и 1≤c≤9, a∈Z, b∈Z, c∈Z. Тогда по условию:

1) x + y = 1252 ⇔ 100·a+10·b+c+100·c+10·b+a=1252 ⇔

⇔ 101·a+20·b+101·c=1252;

2) a+b+c=14;

3) a²+b²+c²=84.

Из второго условия выразим a через b и c:

a=14-b-c.

Полученное выражение подставляем в первое условие:

101·(14-b-c)+20·b+101·c=1252 ⇔ 1414-101·b-101·c+20·b+101·c=1252 ⇔

⇔ 81·b = 1414-1252 ⇔ 81·b = 162 ⇔ b = 162:81 =2.

Тогда

a = 14-2-c = 12-c.

Выражение для a и значение b подставляем в третье условие:

(12-c)²+2²+c²=84 ⇔ 144-2·12·c+c²+4+c² = 84 ⇔ 2·c²-24·c+148-84=0 ⇔

⇔ 2·c²-24·c+64=0  ⇔ c²-12·c+32=0.

Решаем последнее квадратное уравнение:

D = (-12)²-4·1·32 = 144-128 = 16 = 4².

c₁ = (12-4)/2 = 4, c₂ = (12+4)/2 = 8.

Подставляя значения c в выражение для a находим:

a₁ = 12-4 = 8, a₂ = 12-8 = 4.

Так как числа x и y симметричны относительно средней цифры, то получаем единственный ответ:

x=824 и y=428.

Answer 2

Пусть первое трехзначное число будет записано в виде "abc", где a, b и c - цифры числа, а второе трехзначное число будет записано в виде "cba".

Тогда мы имеем следующую систему уравнений:

1. Уравнение на сумму чисел: abc + cba = 1252
2. Уравнение на сумму цифр каждого числа: a + b + c = 14
3. Уравнение на сумму квадратов цифр каждого числа: a^2 + b^2 + c^2 = 84

Решим эту систему уравнений:

1. Уравнение на сумму чисел: abc + cba = 100a + 10b + c + 100c + 10b + a abc + cba = 101a + 20b + 101c abc + cba = 101(a + c) + 20b

2. Уравнение на сумму цифр каждого числа: a + b + c = 14

3. Уравнение на сумму квадратов цифр каждого числа: a^2 + b^2 + c^2 = 84

Теперь заменим abc + cba в уравнении (1) на его значение 1252:

101(a + c) + 20b = 1252

Далее, найдем все возможные значения (a + c), которые могут удовлетворять условию суммы квадратов:

84 = a^2 + b^2 + c^2

Поскольку сумма квадратов цифр равна 84, а сумма цифр равна 14, это означает, что наибольшее возможное значение для a и c равно 7 (при b = 0). Но так как a, b и c - цифры, они должны быть меньше или равны 9.

Таким образом, единственное возможное значение для a + c = 7.

Теперь решим уравнение:

101(a + c) + 20b = 1252 101(7) + 20b = 1252 707 + 20b = 1252 20b = 1252 - 707 20b = 545 b = 545 / 20 b = 27.25

Поскольку b - целое число, то это решение нам не подходит.

Таким образом, таких трехзначных чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи, нет. Возможно, была допущена ошибка в условии задачи. Если это было нечаянное опечатка, пожалуйста, исправьте ее, и я с радостью помогу вам решить измененную задачу.