Question

Докажите ,что при любом натуральном значении n значение выражения а)18 в степени 2n+5 +1-это слагаемое кратно 19 б)15 в степени n + 27-это слагаемое кратно 14

Answer 1

А) (18²ⁿ+5)+1 кратно 19при n€N
1) при n=1
18^7+1=612 220 033=19×32 222 107 делится на 19
2) пусть при n=k
${18}^{2k + 5} + 1= mod19$
3)докажем при n=k+1 ${18}^{2(k + 1) + 5} + 1 = {18}^{2k + 5} \times {18}^{2} + 1 = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - {18}^{2} + 1 = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - (18 - 1)(18 + 1) = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - 17 \times 19$
уменьшаемое делится на 19 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 19,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 19,
а значит и наше выражение делится на 19 при любых n€N

б)15ⁿ+27 кратно 14 при n€N
1) n=1
15¹+27=42 =14*3
делится на 14
2) пусть при n=k
${15}^{k} + 27= mod(14)$
3) докажем кратность при n=k+1

${15}^{k + 1} + 27 = 15 \times {15}^{k} + 27 = \\ = 15 \times {15}^{k} + 27 = \\ = 15 \times ( {15}^{k} + 27) - 15 \times 27 + 27 = \\ = 15 \times ( {15}^{k} + 27) - 14 \times 27$

уменьшаемое делится на 14 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 14,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 14,
а значит и выражение наше делится на 14 при любых n€N

Answer 2

Для доказательства данных утверждений, воспользуемся методом математической индукции. Математическая индукция является методом доказательства утверждений для всех натуральных значений n.

а) Докажем, что при любом натуральном значении n выражение $18^{2n+5} + 1$ является слагаемым, кратным 19.

Шаг 1: Проверка базового случая (n = 1). При $n = 1$ выражение принимает следующий вид: $18^{2\cdot1+5} + 1 = 18^7 + 1$

Теперь проверим, является ли $18^7 + 1$ кратным 19: $18^7 + 1 = 612220032$ - это число не делится на 19 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого $k$, т.е. $18^{2k+5} + 1$ кратно 19.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$. Теперь докажем, что утверждение верно и для $k+1$: $18^{2(k+1)+5} + 1 = 18^{2k+7} + 1 = 18^{2k+5} \cdot 18^2 + 1 = 18^{2k+5} \cdot 324 + 1$

Мы знаем, что $18^{2k+5}$ кратно 19 (согласно предположению индукции). Поэтому можем представить $18^{2k+5}$ как $19 \cdot m$ (где $m$ - целое число): $18^{2k+5} \cdot 324 + 1 = 19 \cdot m \cdot 324 + 1$

Теперь докажем, что $19 \cdot m \cdot 324 + 1$ кратно 19: $19 \cdot m \cdot 324 + 1 = 19 \cdot (m \cdot 324) + 1$

$m \cdot 324$ - это целое число, поэтому $19 \cdot (m \cdot 324)$ - кратно 19. Затем добавляем 1, что не влияет на кратность 19.

Таким образом, утверждение доказано для $k+1$.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных значений n.

б) Докажем, что при любом натуральном значении n выражение $15^n + 27$ является слагаемым, кратным 14.

Шаг 1: Проверка базового случая (n = 1). При $n = 1$ выражение принимает следующий вид: $15^1 + 27 = 15 + 27 = 42$

Теперь проверим, является ли 42 кратным 14: $42 = 14 \cdot 3$ - это число делится на 14 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого $k$, т.е. $15^k + 27$ кратно 14.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$. Теперь докажем, что утверждение верно и для $k+1$: $15^{k+1} + 27 = 15^k \cdot 15 + 27$

Мы знаем, что $15^k$ кратно 14 (согласно предположению индукции). Поэтому можем представить $15^k$ как $14 \cdot m$ (где $m$ - целое число): $15^k \cdot 15 + 27 = 14 \cdot m \cdot 15 + 27$

Теперь докажем, что $14 \cdot m \cdot 15 + 27$ кратно 14: $14 \cdot m \cdot 15 + 27 = 14 \cdot (m \cdot 15) + 27$

$m \cdot 15$ - это целое число, поэтому $14 \cdot (m \cdot 15)$ - кратно 14. Затем добавляем 27, что не влияет на кратность 14.

Таким образом, утверждение доказано для $k+1$.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных значений n.