Question

Доведіть, що є непарною функція: f(x) = (x^3 + x)*(x^4 – x^2).

Answer 1

$f(-x)=((-x)^3-x)((-x)^4-(-x)^2)=(-x^3-x)(x^4-x^2)=\\ \\ =-(x^3+x)(x^4-x^2)=-f(x)$

Оскільки f(-x) = -f(x), то функція непарна.

Answer 2

Щоб довести, що функція f(x) є непарною, потрібно перевірити властивість непарності для цієї функції. Функція вважається непарною, якщо для будь-якого x виконується умова:

f(-x) = -f(x)

Спростимо функцію f(x):

f(x) = (x^3 + x)*(x^4 - x^2)

Тепер, підставимо -x замість x в функцію f(x):

f(-x) = ((-x)^3 + (-x))*((-x)^4 - (-x)^2)

f(-x) = (-x^3 - x)*(x^4 - x^2)

Тепер, знайдемо протилежність функції f(x):

-f(x) = -(x^3 + x)*(x^4 - x^2)

-f(x) = (-x^3 - x)*(x^4 - x^2)

Зауважимо, що f(-x) = -f(x) і, таким чином, виконується властивість непарності. Отже, функція f(x) = (x^3 + x)*(x^4 - x^2) є непарною.