Question

Найдите объем тела , полученного вращением функции y=3x²вокруг оси Оx от x=0 доx=2

Answer 1

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

$V = \pi \int\limits^{b}_{a} {f^{2}(x)} \, dx$

$f(x) = 3x^{2}$

$V = 9\int\limits^{2}_{0} {x^{4}} \, dx = \frac{9}{5} \int\limits^{2}_{0} {5x^{4}} \, dx = \frac{9}{5}*x^5 \bigg|_0^2| = \frac{9}{5}*2^5 - 0 = \frac{9}{5} * 32 = 57.6$

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного вращением функции y = 3x² вокруг оси Ox от x = 0 до x = 2, мы будем использовать метод цилиндров разреза.

Когда функция y = 3x² вращается вокруг оси Ox, она создает цилиндрические разрезы с радиусом r(x) = 3x² и высотой dx (очень малый приращение по оси x). Объем каждого такого цилиндрического разреза равен π * r(x)² * dx.

Чтобы найти общий объем, интегрируем эти цилиндрические разрезы от x = 0 до x = 2:

V = ∫[0 to 2] (π * r(x)²) dx V = ∫[0 to 2] (π * (3x²)²) dx V = ∫[0 to 2] (π * 9x^4) dx

Теперь проинтегрируем по x:

V = π * (9/5) * x^5 |[0 to 2] V = π * (9/5) * (2^5) - π * (9/5) * (0^5) V = π * (9/5) * 32 V = 576π/5

Ответ: Объем тела, полученного вращением функции y = 3x² вокруг оси Ox от x = 0 до x = 2, равен (576π/5) кубических единиц.