Question

Решите уравнение х^4-х^3-3х^2+4х-4=0

Answer 1

x⁴-x³-3x²+4x-4=x⁴+x³-x²+2x-2x³-2x²+2x-4 = x(x³+x²-x+2)-2(x³+x²-x+2)=(x-2)(x³+x²-x+2) = (x-2)(x³-x²+x+2x²-2x+2)= (x-2)(x(x²-x+1)+2(x²-x+1)) = (x-2)(x+2)(x²-x+1)+2(x²-x+1)

Получили (x-2)(x+2)(x²-x+1)+2(x²-x+1)=0

x²-x+1=0 решения не имеет (D=1-4=-3 <0)

Ответ: x₁=-2, x₂=-2

Answer 2

Для решения уравнения $x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0$, можно воспользоваться методами анализа и численного решения. Однако, такое уравнение обычно не имеет аналитического решения в виде простых формул.

Для нахождения численного приближенного решения, используем численные методы или программы, которые могут выполнить вычисления за нас.

Допустим, мы хотим использовать численный метод, такой как метод Ньютона. В этом методе мы начинаем с некоторого начального приближения и последовательно уточняем его, используя следующую формулу:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

где $x_n$ - текущее приближение, $x_{n+1}$ - следующее приближение, $f(x_n)$ - значение функции в точке $x_n$, $f'(x_n)$ - значение производной функции в точке $x_n$.

Применим метод Ньютона для данного уравнения:

$f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4$

$f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 4$

Выберем начальное приближение $x_0$. Например, можно взять $x_0 = 1$. Тогда, используя формулу метода Ньютона, получим:

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ $x_1 = 1 - \frac{(1)^4 - (1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 4}{4(1)^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 4}$ $x_1 = 1 - \frac{0}{1}$ $x_1 = 1$

После первой итерации $x_1$ также равен 1. Это означает, что мы нашли корень $x = 1$ с некоторой точностью. Если бы $x_1$ был немного отличался от 1, мы могли бы продолжить итерации, чтобы получить более точное приближение.

Таким образом, одно из решений уравнения $x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0$ составляет $x = 1$. Остальные корни уравнения можно найти, используя аналогичные методы, но это потребует больше вычислительной работы.