Question

Найдите все такие целые c, при которых дробь c+7/c-4 является целым числом

Answer 1

4

 

(c+7)/(c−4)=(c-4+11)/(c−4) =1+11/(с-4)

целое когда (с-4) делитель числа 11 - это 1, -1, 11, -11 - 4

числа

с-4=1; c=5

c-4=-1; c=3

c-4=11; c=14

c-4=-11; c=-7

 

ответ: 4 числа

Answer 2

Для того чтобы дробь c + 7 / c - 4 была целым числом, необходимо и достаточно, чтобы её числитель делился на её знаменатель без остатка. Математически это представляется так:

(c + 7) % (c - 4) = 0,

где % обозначает операцию взятия остатка от деления.

Давайте разберемся с этим уравнением. Раскроем скобки:

(c + 7) - k(c - 4) = 0,

где k - некоторое целое число.

Приведем подобные и выразим c:

c + 7 - kc + 4k = 0, c(1 - k) + 7 + 4k = 0, c(1 - k) = -7 - 4k, c = (-7 - 4k) / (1 - k).

Таким образом, найдем все целые значения c, для которых c + 7 / c - 4 будет целым числом, когда (1 - k) не равно нулю, то есть k ≠ 1.

Примеры:

1. При k = 2:

c = (-7 - 4 * 2) / (1 - 2) = (-7 - 8) / (-1) = 15.

Таким образом, при c = 15 дробь 15 + 7 / 15 - 4 будет равна 22 / 11 = 2, что является целым числом.

2. При k = -3:

c = (-7 - 4 * (-3)) / (1 - (-3)) = (-7 + 12) / 4 = 5.

Таким образом, при c = 5 дробь 5 + 7 / 5 - 4 будет равна 12 / 1 = 12, что также является целым числом.

Таким образом, возможные целые значения c, при которых дробь c + 7 / c - 4 является целым числом, это c = 15 и c = 5.