Question

По кругу стоят 30 чисел (не обязательно целых), сумма которых явл. натуральным числом. Известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел больше 32, а сумма любых пяти подряд идущих меньше 27. Чему равна сумма всех чисел?

Answer 1

Пусть S- сумма всех чисел , если эти числа разбить на 6 групп , в каждой из которых 5 идущих подряд чисел , то сумма чисел в каждой группе меньше 27 , а сумма всех чисел меньше чем 27 · 6 = 162 ⇒ S < 162  , если разбить эти числа на 5 групп , в каждой из которых по 6 идущих подряд чисел , то сумма чисел в каждой группе будет больше 32 , а сумма всех чисел больше  чем 32·5 = 160 ⇒ S > 160  ⇒

162 > S > 160 ,  но между числами 160 и 162 есть только одно натуральное число - 161  ⇒  S = 161

Answer 2

Давайте обозначим сумму всех 30 чисел за S.

Из условия известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел больше 32, то есть:

1. (A + B + C + D + E + F) > 32,
2. (B + C + D + E + F + G) > 32,
3. (C + D + E + F + G + H) > 32,
4. ...
5. (V + W + X + Y + Z + A) > 32.

Суммируем все эти неравенства:

(A + B + C + D + E + F) + (B + C + D + E + F + G) + (C + D + E + F + G + H) + ... + (V + W + X + Y + Z + A) > 32 + 32 + 32 + ... + 32,

Обратите внимание, что каждое число участвует в шести разных суммах, так как круг замкнутый. Таким образом, 6S > 32 * 30, что равносильно:

6S > 960.

Теперь посмотрим на условие, что сумма любых пяти подряд идущих чисел меньше 27:

1. (A + B + C + D + E) < 27,
2. (B + C + D + E + F) < 27,
3. (C + D + E + F + G) < 27,
4. ...
5. (V + W + X + Y + Z) < 27.

Суммируем все эти неравенства:

(A + B + C + D + E) + (B + C + D + E + F) + (C + D + E + F + G) + ... + (V + W + X + Y + Z) < 27 + 27 + 27 + ... + 27,

Снова обратите внимание, что каждое число участвует в пяти разных суммах, так как круг замкнутый. Таким образом, 5S < 27 * 30, что равносильно:

5S < 810.

Теперь у нас есть два неравенства:

1. 6S > 960,
2. 5S < 810.

Давайте решим эти неравенства, чтобы найти значение S:

Неравенство 2: 5S < 810, S < 810 / 5, S < 162.

Теперь рассмотрим неравенство 1 и найдем значение S:

Неравенство 1: 6S > 960, S > 960 / 6, S > 160.

Таким образом, мы получили ограничения на значение S: 160 < S < 162.

Теперь давайте рассмотрим все возможные значения S, удовлетворяющие этим ограничениям: S может быть 161.

Теперь, когда мы знаем значение S, можем найти сумму всех чисел:

Сумма всех чисел = 30 * S = 30 * 161 = 4830.

Ответ: Сумма всех чисел равна 4830.