Question

При каких значениях параметра p неравенство px2+(2p+1)x-(2-p)<0 верно при всех значениях х?

Answer 1

Квадратное неравенство верно при всех х  в том случае, если парабола (заданная квадратным трехчленом слева)  расположена ниже оси ох.

Значит коэффициент при х² отрицательный, ветви параболы направлены вниз

При этом парабола не пересекает ось ох, значит квадратное уравнение не имеет корней.

А в этом случае дискриминант квадратного трехчлена отрицательный.

Оба условия объединяем в систему

Решаем второе неравенство

4p²+4p+1+8p-4p²<0,

12p+1<0

p<-1/12

Решением системы

является

(-∞;-1/12)

Answer 2

Для того чтобы неравенство было верно для всех значений x, нужно, чтобы выражение px^2 + (2p + 1)x - (2 - p) было отрицательным при всех значениях x.

Такие неравенства относятся к трем типам квадратных трехчленов вида ax^2 + bx + c, где a, b и c - константы:

1. Если a > 0, то график функции будет направлен вверх, и функция будет иметь минимум. Таким образом, неравенство будет выполнено для всех x, если функция отрицательна вне интервала, где находится минимум.

2. Если a < 0, то график функции будет направлен вниз, и функция будет иметь максимум. В таком случае, неравенство будет выполнено для всех x, если функция отрицательна в интервале, где находится максимум.

3. Если a = 0, то у нас будет линейная функция (без члена с x^2), и неравенство будет выполняться для всех x, если коэффициент перед x (b) отрицателен.

В данном неравенстве у нас a = p, b = 2p + 1 и c = -(2 - p).

1. Если p > 0, то a > 0. В этом случае, нам нужно, чтобы функция была отрицательна вне интервала, где находится минимум. Определение минимума выполняется при x = -b / (2a). Подставим значения:

x = -(2p + 1) / (2p) x = -(2 + 1/p) / 2

Теперь нам нужно определить интервал, вне которого функция должна быть отрицательной. Если a > 0, то функция будет убывать с обеих сторон от минимума. Таким образом, нам нужно, чтобы функция была отрицательна вне интервала (-бесконечность, минимум) и (минимум, +бесконечность).

2. Если p < 0, то a < 0. В этом случае, нам нужно, чтобы функция была отрицательна в интервале, где находится максимум. Максимум определяется так же, как и минимум, только у нас a < 0:

x = -(2p + 1) / (2p) x = -(2 + 1/p) / 2

Мы хотим, чтобы функция была отрицательна в интервале (максимум, минимум) и вне этого интервала.

3. Если p = 0, то у нас получается линейная функция с коэффициентом перед x равным 2p + 1 = 1. Чтобы функция была отрицательной, нужно, чтобы коэффициент перед x был отрицательным, что выполняется при p < -1/2.

Таким образом, неравенство px^2 + (2p + 1)x - (2 - p) < 0 верно для всех значений x при следующих значениях параметра p:

1. p > 0 и p < -1/2.
2. p < 0 и p < -1/2. (Данный пункт объединяет условия, так как p < 0 всегда меньше -1/2.)
3. p = 0 и p < -1/2.