Question

1. Решите систему неравенств. 3-2х\5 >1 х2-4 больше равно 0 2.При каких значениях параметра p неравенство px2+(2p-3)x+(p+3)>0 верно при всех значениях x?

Answer 1

Давайте начнем с первой задачи, решения системы неравенств:

1. \(3 - \frac{2x}{5} > 1\) и \(x^2 - 4 \geq 0\).

Для первого неравенства:

\[3 - \frac{2x}{5} > 1\]

Переносим 1 на правую сторону:

\[\frac{-2x}{5} > -2\]

Умножаем обе стороны на -5 (заметьте, что мы умножаем на отрицательное число, поэтому меняем знак неравенства):

\[2x < 10\]

\[x < 5\]

Для второго неравенства:

\[x^2 - 4 \geq 0\]

Факторизуем левую часть:

\[(x - 2)(x + 2) \geq 0\]

Теперь анализируем знак этого выражения. Оно положительно или равно нулю, когда оба множителя имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные). Это происходит, когда \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).

Таким образом, решение первой системы неравенств - это:

\[x < 5 \quad \text{или} \quad x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 2\]

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. \(px^2 + (2p - 3)x + (p + 3) > 0\) при всех значениях \(x\).

Это неравенство будет выполнено для всех значений \(x\), если его дискриминант меньше нуля (чтобы график квадратного уравнения не пересекалось с осью \(x\)) и коэффициент при \(x^2\) положителен (чтобы ветви параболы были направлены вверх).

Дискриминант выражения \(px^2 + (2p - 3)x + (p + 3)\) равен \((2p - 3)^2 - 4p(p + 3)\). Для того чтобы дискриминант был меньше нуля:

\[(2p - 3)^2 - 4p(p + 3) < 0\]

Решив это неравенство относительно \(p\), мы сможем определить значения \(p\), при которых выполняется условие. Я оставлю это вам как упражнение, но если вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спросить.