Question

Даю 40 баллов!!! Сто прямых параллельных прямой y=x пересекают график функции y=1/x. Найдите произведение абсцисс всех двухсот точек пересечения.

Answer 1

Прямая, параллельная прямой  y= kx,  имеет уравнение  y = kx + b.  

Абсциссами точек её пересечения с гиперболой у = 1/х являются оба корня уравнения  

k/x = kx + b  

Решим его    

kx² + bx – k = 0.    

D = b²+4k²

√D = √(b²+4k²)

$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2+4k^2}}{2k}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+4k^2}}{2k}$

Найдем их произведение:

$x_1*x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4k^2}}{2k}*\frac{-b+\sqrt{b^2+4k^2}}{2k}=\\ \\=\frac{b^2-(b^2+4k^2)}{2k*2k}=\frac{b^2-b^2-4k^2}{4k^2}=\frac{-4k^2}{4k^2}=-1$

Произведение корней этого уравнения равно –1.

Получаем произведение абсцисс двух точек пересечения одной прямой.

Перемножив cто таких произведений, получаем ответ 1.

Ответ: 1

Answer 2

Спасибо за 40 баллов! Давайте решим эту задачу.

Итак, у нас есть 100 прямых, параллельных прямой y=x, и каждая из них пересекает график функции y=1/x. Для того чтобы найти точки пересечения, нужно приравнять уравнения этих прямых и функции:

1. Уравнение прямой, параллельной y=x: y = x + c, где c - константа (смещение прямой относительно y=x).

2. Уравнение функции y=1/x.

Теперь приравняем их: x + c = 1/x

Чтобы найти точки пересечения, решим это уравнение относительно x: x^2 + cx - 1 = 0

Как мы знаем, у квадратного уравнения два корня. Обозначим корни как x1 и x2. Тогда искомое произведение абсцисс точек пересечения будет:

Произведение абсцисс = x1 * x2

Для нахождения x1 и x2 воспользуемся формулами для корней квадратного уравнения:

x1 = (-c + √(c^2 + 4))/2 x2 = (-c - √(c^2 + 4))/2

Теперь осталось найти константу c. Мы знаем, что все эти прямые пересекают график функции y=1/x. Так как каждая прямая пересекает график ровно в одной точке, это означает, что значение y для каждой прямой должно быть равно значению y функции y=1/x в этой точке. Вспомним, что у нас есть уравнение прямой: y = x + c.

Таким образом, для каждой прямой, пересекающей график функции, должно выполняться условие:

x + c = 1/x

Теперь найдем c:

x + c = 1/x cx + c = 1 c(x + 1) = 1 c = 1/(x + 1)

Теперь у нас есть значение константы c. Подставим его обратно в формулы для x1 и x2:

x1 = (-(1/(x + 1)) + √((1/(x + 1))^2 + 4))/2 x2 = (-(1/(x + 1)) - √((1/(x + 1))^2 + 4))/2

Теперь найдем произведение абсцисс:

Произведение абсцисс = x1 * x2

Таким образом, мы можем найти произведение абсцисс всех 200 точек пересечения графика функции y=1/x с данными прямыми. Однако, из-за сложности аналитического вычисления, точного числового ответа я не могу предоставить. Вам нужно будет использовать численные методы или программирование для вычисления этого произведения.