Question

Докажите что 3²(степень n(верхнее,как 2))+11×5n кратно 4

Answer 1

5n = 1(mod 4), 11=3 (mod 4), 3²=1 (mod 4)
отже 3²+11×5n=1+3×1=4=0(mod 4)
всюди знак "=" означає конгурентний

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $3^{2n} + 11 \times 5^n$ кратно 4 для всех целых $n \geq 0$, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай

Для $n = 0$, мы должны проверить, что $3^{2 \cdot 0} + 11 \times 5^0$ кратно 4.

$3^{2 \cdot 0} + 11 \times 1 = 3^0 + 11 = 1 + 11 = 12$.

12 явно делится на 4, так как $12 = 4 \times 3$.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого $k \geq 0$, утверждение верно, т.е. $3^{2k} + 11 \times 5^k$ кратно 4.

Шаг 3: Индукционный шаг

Докажем, что из предположения индукции следует, что утверждение верно и для $k+1$. Для этого докажем, что $3^{2(k+1)} + 11 \times 5^{k+1}$ кратно 4.

Раскроем степень $3^{2(k+1)}$: $3^{2(k+1)} = 3^{2k + 2} = 3^{2k} \times 3^2$.

Также заметим, что $5^{k+1} = 5^k \times 5$.

Теперь можем переписать выражение: $3^{2(k+1)} + 11 \times 5^{k+1} = (3^{2k} \times 3^2) + 11 \times (5^k \times 5)$.

Мы уже знаем из предположения индукции, что $3^{2k} + 11 \times 5^k$ кратно 4, то есть, существует целое число $p$, такое что: $3^{2k} + 11 \times 5^k = 4p$.

Теперь можем переписать выражение с учетом этого: $3^{2(k+1)} + 11 \times 5^{k+1} = (3^{2k} \times 3^2) + 11 \times (5^k \times 5) = 3^{2k} \times 9 + 11 \times 5^k \times 5 = 9(3^{2k}) + 5(11 \times 5^k) = 9(3^{2k} + 11 \times 5^k)$.

Так как $3^{2k} + 11 \times 5^k$ кратно 4, то и $9(3^{2k} + 11 \times 5^k)$ кратно 4 (9 умножается на целое число).

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k+1$.

Заключение

Мы доказали базовый случай и показали, что если утверждение верно для некоторого $k$, то оно верно и для $k+1$. Следовательно, утверждение верно для всех целых $n \geq 0$ по принципу математической индукции. Таким образом, $3^{2n} + 11 \times 5^n$ кратно 4 для всех $n \geq 0$.