Question

ПРОШУ СРОЧНО НУЖНО При каких натуральных значениях переменной выражение n2+5n-8/n+3 является целым числом?

Answer 1

При любых, кроме нуля

Answer 2

Для того чтобы выражение $\frac{n^2 + 5n - 8}{n + 3}$ являлось целым числом, числитель должен быть кратен знаменателю, и они должны иметь общие множители. Другими словами, $n + 3$ должно делить $n^2 + 5n - 8$ без остатка.

Разделим $n^2 + 5n - 8$ на $n + 3$ с помощью деления с остатком:

scssCopy code
         n + 2
   ______________________
n + 3 | n^2 + 5n - 8
         - (n^2 + 3n)
   ______________________
               2n - 8
           - (2n + 6)
   ______________________
                   -14

Получили, что $n^2 + 5n - 8 = (n + 2)(n + 3) - 14$.

Теперь, чтобы $n^2 + 5n - 8$ было целым числом, $(n + 2)(n + 3)$ должно быть на 14 больше некоторого целого числа.

Теперь рассмотрим все натуральные значения переменной $n$ и найдем, при каких из них $(n + 2)(n + 3)$ отличается от целого числа на 14:

1. При $n = 1$: $(1 + 2)(1 + 3) = 3 \times 4 = 12$ (не подходит)

2. При $n = 2$: $(2 + 2)(2 + 3) = 4 \times 5 = 20$ (подходит, так как 20 - 14 = 6)

3. При $n = 3$: $(3 + 2)(3 + 3) = 5 \times 6 = 30$ (подходит, так как 30 - 14 = 16)

4. При $n = 4$: $(4 + 2)(4 + 3) = 6 \times 7 = 42$ (подходит, так как 42 - 14 = 28)

И так далее...

Таким образом, выражение $\frac{n^2 + 5n - 8}{n + 3}$ будет являться целым числом при $n = 2, 3, 4, \ldots$ и других значениях, которые удовлетворяют условиям $n + 2 \equiv 0 \pmod{14}$ или $n + 3 \equiv 0 \pmod{14}$.