Question

X^2+10y^2+z^2+6xy+2y+2z+7>0 Доказать что для всех x, y, z Є R действительно неравенство ПРОШУ ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

X^2+10y^2+z^2+6xy+2y+2z+7>0
x^2+6xy+9y^2+y^2+2y+1+z^2+2z+1+5>0
(х+3у)^2+(у+1)^2+(z+1)^2+5>0.
Квадраты числе неотрицательны, 5>0, значит неравенство верно.
Здесь используется прием выделения полного квадрата.

Answer 2

Докажем данное неравенство для всех x, y, z ∈ R. Для этого воспользуемся методом анализа квадратичных форм.

Исходное неравенство: x^2 + 10y^2 + z^2 + 6xy + 2y + 2z + 7 > 0

Для начала приведем квадратичную форму к каноническому виду (вид без кросс-произведений и с единичными коэффициентами при квадратичных членах).

1. Выделим квадратичные члены по переменным x, y, z: x^2 + 6xy + 10y^2 + z^2.

2. Для полного квадратного трехчлена x^2 + 6xy + 10y^2 найдем завершающий квадратный трехчлен, добавив и вычтем его: x^2 + 6xy + 10y^2 = (x^2 + 6xy + 9y^2) + (y^2) = (x + 3y)^2 + (y^2).

3. Теперь полученное выражение добавим к оставшимся членам из исходного неравенства: (x + 3y)^2 + (y^2) + z^2 + 2y + 2z + 7 > 0.

4. Разложим полученное выражение на сумму: (x + 3y)^2 + y^2 + z^2 + 2y + 2z + 7 > 0.

5. Теперь рассмотрим выражение в скобках (x + 3y)^2, оно является квадратом и, следовательно, всегда неотрицательно: (x + 3y)^2 ≥ 0.

6. В оставшейся части у нас есть только положительные члены, так как y^2, z^2, 2y и 2z всегда неотрицательные, а 7 - это константа.

7. Следовательно, сумма всегда больше либо равна нулю, но она может быть равна нулю только при x = -3y и y = 0 (значение z не влияет на неравенство), что приведет к x = 0, y = 0, z = 0. Однако, по условию, x, y, z ∈ R, а не равны нулю одновременно, что значит, что неравенство выполняется для всех действительных x, y, z.

Таким образом, доказано, что x^2 + 10y^2 + z^2 + 6xy + 2y + 2z + 7 > 0 для всех x, y, z ∈ R.