Question

Розкладить на множники многочлен х³+6х²+11х+6

Answer 1

Решение на фотографии.

Для простоты 11х представили как 9х+2х

Answer 2

x^3 +6x^2 +11x +6 =

x^3 +x^2 +5x^2 +5x +6x +6 =

x^2(x+1) +5x(x+1) +6(x+1) =

(x^2 +5x +6)(x+1) =

(x+3)(x+2)(x+1)

Answer 3

Щоб розкласти многочлен на множники, спочатку давайте перевіримо, чи є можливі корені многочлена. За допомогою алгоритму знаходження раціональних коренів (Раціо-Кореневе теорема), перелічимо всі можливі раціональні корені, використовуючи дільники останнього коефіцієнту многочлена (6) і коефіцієнти перед змінними (1, 6 та 11).

Раціональні корені можуть бути у вигляді ± p/q, де p - дільник вільного члена (6), а q - дільник коефіцієнта при х³ (1). Також згідно теореми, p повинно ділитись на q без остачі.

Можливі значення p: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Можливі значення q: ± 1

За допомогою перебору, перевіримо, яке з цих значень може бути раціональним коренем:

1. x = 1: 1³ + 61² + 111 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 (не підходить)
2. x = -1: (-1)³ + 6*(-1)² + 11*(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 (підходить, рівняння зрівноважується)
3. x = 2: 2³ + 62² + 112 + 6 = 8 + 24 + 22 + 6 = 60 (не підходить)
4. x = -2: (-2)³ + 6*(-2)² + 11*(-2) + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 0 (підходить, рівняння зрівноважується)
5. x = 3: 3³ + 63² + 113 + 6 = 27 + 54 + 33 + 6 = 120 (не підходить)
6. x = -3: (-3)³ + 6*(-3)² + 11*(-3) + 6 = -27 + 54 - 33 + 6 = 0 (підходить, рівняння зрівноважується)
7. x = 6: 6³ + 66² + 116 + 6 = 216 + 216 + 66 + 6 = 504 (не підходить)
8. x = -6: (-6)³ + 6*(-6)² + 11*(-6) + 6 = -216 + 216 - 66 + 6 = -60 (не підходить)

Ми знайшли два раціональних кореня, а саме: x = -1 та x = -2.

Тепер ми можемо розкласти многочлен за допомогою знайдених коренів. Кожен корінь дає нам фактор замість (х - корінь). Таким чином, розклад многочлена х³ + 6х² + 11х + 6:

х³ + 6х² + 11х + 6 = (х + 1) * (х + 2) * (х + ?)

Залишилося знайти останній невідомий фактор. Можна зробити це, розділяючи вихідний многочлен на (х + 1) та (х + 2) за допомогою довгого ділення або застосовуючи синтетичне ділення. Але, давайте проведемо це ділення:

markdownCopy code
     х² + 5х + 6
 ________________________

х + 1 | х³ + 6х² + 11х + 6 -(х³ + х²) ____________ 5х² + 11х -(5х² + 5х) ____________ 6х + 6 -(6х + 6) ___________ 0

Отже, останній фактор - це х² + 5х + 6.

Таким чином, окремі множники многочлена х³ + 6х² + 11х + 6:

х³ + 6х² + 11х + 6 = (х + 1) * (х + 2) * (х² + 5х + 6)