Question

Помогите пожалуйста! Составьте многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами,имеющий корни X1=-(2/3) и X2=2-√3.

Answer 1

$x_1=-\dfrac 23;~~~~x_2=2-\sqrt3$

$(x-x_1)(x-x_2)=0\\\\\bigg(x-\Big(-\dfrac 23\Big)\bigg)\Big(x-(2-\sqrt3)\Big)=0\\\\\bigg(x+\dfrac 23\bigg)\Big(x-2+\sqrt3\Big)=0~~~~\bigg|\cdot 3\\\\\Big(3x+2\Big)\Big(x-2+\sqrt3\Big)=0~~~~\Big|\cdot (x-2-\sqrt3)$

Такой множитель позволяет избавиться от иррациональности во второй скобке, но добавляет ещё один корень многочлена, третий.

$\Big(3x+2\Big)\Big((x-2)+\sqrt3\Big)\Big((x-2)-\sqrt3\Big)=0\\\\\Big(3x+2\Big)\Big((x-2)^2-(\sqrt3)^2\Big)=0\\\\\Big(3x+2\Big)\Big(x^2-4x+1\Big)=0$

Получились все коэффициенты целые, достаточно просто перемножить скобки

$(3x+2)(x^2-4x+1)=\\=3x^3+2x^2-12x^2-8x+3x+2=\\\\=\boxed{\boldsymbol{3x^3-10x^2-5x+2}}$

Многочлен третьей степени имеет 3 корня : один рациональный и два сопряжённых иррациональных

$x_1=-\dfrac 23;~~x_2=2-\sqrt3;~~x_3=2+\sqrt3$

Answer 2

Для составления многочлена с целыми коэффициентами, имеющего данные корни, нужно учесть следующее:

1. Если многочлен имеет рациональные корни вида p/q, то он имеет множитель (qx - p).
2. Если многочлен имеет иррациональные корни вида a+√b, то он имеет множитель (x - a - √b).
3. Если многочлен имеет иррациональные корни вида a-√b, то он имеет множитель (x - a + √b).

С учетом этой информации, начнем составление многочлена.

Данные корни: X1 = -2/3 и X2 = 2-√3.

1. Первый корень X1 = -2/3. Он является рациональным. Таким образом, у нас будет множитель (3x + 2).

2. Второй корень X2 = 2-√3. Он является иррациональным. Таким образом, у нас будет множитель (x - 2 + √3).

Теперь, чтобы получить многочлен наименьшей степени, перемножим все множители:

Многочлен = (3x + 2) * (x - 2 + √3).

Для умножения многочленов, можно использовать правило распределения (FOIL):

Многочлен = 3x^2 - 6x + 3x - 6 + 2√3x + 4 - 2√3 Многочлен = 3x^2 - 3x - 2 + 2√3x - 2√3.

Таким образом, многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами и имеющий корни X1 = -2/3 и X2 = 2-√3 будет:

Многочлен = 3x^2 - 3x - 2 + 2√3x - 2√3.