Question

Найти производные 1) y=x^3-5/(x^2+1) 2) y=e^2xx^3 3)y= sin(4x-8)

Answer 1

$(f(x))' = f'(x)*x'\\1) y = x^3 - \frac5{x^2+1}\\(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)\\ (\frac1x)' = -\frac1 {x^2} * x'\\ (x^n)' = nx^{n-1}\\y' = 3x^2 + \frac{5*(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=3x^2 + \frac{10x}{(x^2+1)^2}\\2) y = e^{2x}x^3\\(f(x)*g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\(e^x)' = e^x*x'\\y' = x^3e^{2x}*(2x)' + (x^3)'e^{2x} = 2x^3e^{2x} + 3x^2e^{2x}\\3) y = sin(4x -8)\\(sinx)' = cosx*x'\\y' = (4x-8)'cos(4x-8) = 4cos(4x-8)$

Answer 2

Для каждого из данных выражений найдем производные.

1. y = x^3 - 5/(x^2 + 1)

Для нахождения производной функции, содержащей сумму, разность или произведение слагаемых, а также функций, используйте правила дифференцирования.

y' = (x^3)' - ((5/(x^2 + 1))'

1. Дифференцируем первое слагаемое: (x^3)' = 3x^2.

2. Дифференцируем второе слагаемое: (5/(x^2 + 1))' = 5 * (1/(x^2 + 1))'.

Теперь нужно найти производную функции 1/(x^2 + 1).

По правилу дифференцирования обратной функции: (1/f(x))' = -f'(x)/[f(x)]^2.

f(x) = x^2 + 1 f'(x) = 2x

Таким образом, (1/(x^2 + 1))' = -(2x)/[x^2 + 1]^2.

Теперь объединим все результаты:

y' = 3x^2 - 5 * (2x)/[x^2 + 1]^2.

2. y = e^(2x) * x^3

Здесь у нас произведение функций.

Для нахождения производной произведения функций используйте правило дифференцирования произведения:

(y * z)' = y' * z + y * z',

где y = e^(2x) и z = x^3.

1. Найдем производную функции y = e^(2x): (y = e^(2x))' = 2 * e^(2x).

2. Найдем производную функции z = x^3: (z = x^3)' = 3x^2.

Теперь объединим результаты:

y' = 2 * e^(2x) * x^3 + e^(2x) * 3x^2.

3. y = sin(4x - 8)

Здесь у нас функция, в которой аргумент сам является функцией (4x - 8).

Для нахождения производной такой функции используйте правило цепочки (chain rule):

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x).

Здесь f(x) = sin(x), а g(x) = 4x - 8.

1. Найдем производную функции f(x) = sin(x): (f(x) = sin(x))' = cos(x).

2. Найдем производную функции g(x) = 4x - 8: (g(x) = 4x - 8)' = 4.

Теперь объединим результаты:

y' = cos(4x - 8) * 4.

Таким образом, производные данных функций выглядят следующим образом:

1. y' = 3x^2 - 5 * (2x)/[x^2 + 1]^2.
2. y' = 2 * e^(2x) * x^3 + e^(2x) * 3x^2.
3. y' = 4 * cos(4x - 8).