Question

Докажите что при любом целом b значение выражения b в кубе +35b кратно 6

Answer 1

${b}^{3} + 35b$

Вместо b будем подставлять различные остатки при делении числа b на 6:

*Примечание: когда мы определяли, что число делится на 6, мы видели, что оно делится на 2 (заканчивается на четную цифру) и на 3 (сумма цифр делится на 3), значит число делится на 6.

1) Остаток 0:
${0}^{3} + 35 \times 0 = 0$
кратно 6.

2) Остаток 1:
${1}^{3} + 35 \times 1 = 36$
кратно 6.

3) Остаток 2:
${2}^{3} + 35 \times 2 = 8 + 70 = 78$
кратно 6.

4) Остаток 3:
${3}^{3} + 35 \times 3 = 27 + 105 = 132$
кратно 6.

5) Остаток 4:
${4}^{3} + 35 \times 4 = 64 + 140 = 204$

6) Остаток 5:
${5}^{3} + 35 \times 5 = 125 + 175 = 300$
кратно 6.

Мы рассмотрели все остатки при делении числа b на 6, во всех случаях выражение делилось на 6, значит оно делится на 6 при любых b

Answer 2

Доказать,  что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.

Докажем методом математической индукции.

1) Пусть b=1, тогда  

1³ + 35·1 = 36

36 : 6 = 6  =>  

36 делится нацело на 6, значит, при b=1 утверждение верно.  

2) Допустим, что при b=k  утверждение верно, т.е.

значение выражения (k³ +35k)  делится нацело на 6.

3) Проверим справедливость утверждения при b=k+1.

   (k+1)³+35·(k+1) =

= (k³ + 3k² + 3k + 1) + 35k + 35 =

= (k³+35k) + (3k² + 3k) + 36 =

= (k³+35k) + 3k(k+1)  + 36

- Первое слагаемое (k³+35k)  делится на 6 без остатка по допущению из второго пункта.

- Второе слагаемое 3k(k+1)   делится на 6 без остатка, т.к.

среди его множителей есть множители числа 6, это 3 и 2.

Одно из двух последовательных чисел k и (k+1) будет четным.

(Если k нечетно, следующее за ним (k+1) четно.

И наоборот, Если k четно, следующее за ним (k+1) нечетно.)

- Третье слагаемое 36  делится на 6 без остатка.

Если каждое слагаемое делится на 6 без остатка, то и вся сумма   (k+1)³+35·(k+1) делится на 6 без остатка. .

Таким образом доказано утверждение о том, что (b³ +35b) кратно 6 при любом целом b.  

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, нужно показать, что выражение $b^3 + 35b$ делится на 6 без остатка для любого целого $b$.

Для этого докажем, что $b^3 + 35b$ можно представить в виде $6k$, где $k$ является целым числом.

Предположим, $b$ - целое число. Тогда можно записать $b$ в одном из трех видов:

1. $b = 6m$ (где $m$ - целое число)
2. $b = 6m + 1$ (где $m$ - целое число)
3. $b = 6m + 2$ (где $m$ - целое число)
4. $b = 6m + 3$ (где $m$ - целое число)
5. $b = 6m + 4$ (где $m$ - целое число)
6. $b = 6m + 5$ (где $m$ - целое число)

Теперь вычислим $b^3 + 35b$ для каждого из этих шести случаев и покажем, что в каждом случае это выражение делится на 6 без остатка.

1. Если $b = 6m$, тогда $b^3 + 35b = (6m)^3 + 35(6m) = 6(6m^3 + 35m)$. Очевидно, что $6m^3 + 35m$ - целое число, обозначим его за $k_1$. Таким образом, $b^3 + 35b = 6k_1$, что делится на 6.

2. Если $b = 6m + 1$, тогда $b^3 + 35b = (6m + 1)^3 + 35(6m + 1) = 6(6m^3 + 19m^2 + 26m + 1)$. Поскольку $6m^3 + 19m^2 + 26m + 1$ - целое число, обозначим его за $k_2$. Таким образом, $b^3 + 35b = 6k_2$, что делится на 6.

3. Если $b = 6m + 2$, тогда $b^3 + 35b = (6m + 2)^3 + 35(6m + 2) = 6(6m^3 + 19m^2 + 20m + 8)$. Аналогично, $b^3 + 35b = 6k_3$, что делится на 6.

4. Если $b = 6m + 3$, тогда $b^3 + 35b = (6m + 3)^3 + 35(6m + 3) = 6(6m^3 + 19m^2 + 11m + 9)$. По аналогии, $b^3 + 35b = 6k_4$, что делится на 6.

5. Если $b = 6m + 4$, тогда $b^3 + 35b = (6m + 4)^3 + 35(6m + 4) = 6(6m^3 + 19m^2 + 2m + 4)$. Опять же, $b^3 + 35b = 6k_5$, что делится на 6.

6. Если $b = 6m + 5$, тогда $b^3 + 35b = (6m + 5)^3 + 35(6m + 5) = 6(6m^3 + 19m^2 + 35m + 15)$