Question

Доказать, что число 8000...01 (нулей между 8 и 1 не менее трех) не является квадратов натурального числа

Answer 1

Это же задание с олимпиады, она была вчера кстати. Я написала там что квадратом натурального числа может быть только число которое можно вынести из под корня, а так как 8 вынести нельзя то это число 8000.. 01  не может быть квадратом натурального числа, так как множество натуральных чисел это множество чисел от 1 до бесконечности, используемые при счёте. Вот

Answer 2

Давайте предположим, что число вида 8000...01 (с не менее чем тремя нулями между 8 и 1) является квадратом натурального числа. То есть, предположим, что существует натуральное число n, такое что:

8000...01 = n^2

Примечание: Для обозначения последовательности нулей используем "..." (многоточие).

Мы можем записать исходное число более точно:

8000...01 = 8 * 10^k + 1, где k - количество нулей между 8 и 1.

Теперь давайте рассмотрим квадрат натурального числа n^2:

n^2 = (8 * 10^k + 1)^2 n^2 = 64 * 10^(2k) + 16 * 10^k + 1

Теперь давайте обратим внимание на последние цифры чисел n^2 и 8000...01:

Если n^2 заканчивается на 1, тогда и 8000...01 тоже должно заканчиваться на 1.

Теперь рассмотрим остатки от деления n^2 на 100:

n^2 ≡ (64 * 10^(2k) + 16 * 10^k + 1) mod 100

Для того чтобы определить остаток, достаточно рассмотреть последние две цифры числа n^2 (поскольку 100 имеет две цифры). Изучим возможные остатки для каждой из последних двух цифр:

64 * 10^(2k) ≡ 00 (поскольку умножение на 10^n добавляет n нулей в конце числа) 16 * 10^k ≡ 60 (поскольку умножение на 10^n добавляет n нулей в конце числа и 16 * 10 ≡ 160 ≡ 60 (mod 100)) 1 ≡ 01

Теперь сложим остатки:

n^2 ≡ 00 + 60 + 01 ≡ 61 (mod 100)

Таким образом, остаток от деления n^2 на 100 равен 61.

Теперь посмотрим на остатки от деления 8000...01 на 100:

8000...01 ≡ 01 (поскольку у числа остается только последняя цифра 1 после удаления всех нулей)

Мы видим, что остаток от деления n^2 на 100 не совпадает с остатком от деления 8000...01 на 100. Это означает, что числа не равны, и предположение о том, что 8000...01 является квадратом натурального числа, неверно.

Таким образом, число 8000...01 (с не менее чем тремя нулями между 8 и 1) не является квадратом натурального числа.