Question

Помогите! 50 баллов! Докажите, что при любом n принадлежащим N является составным значение выражения 2n^2+11n+12 через решение квадратного уравнения Если можно подробно

Answer 1

$2 {n}^{2} + 11n + 12 = 0 \\ d = 121 - 4 \times 2 \times 12 = 121 - 96 = 25 \\ n1 = \frac{ - 11 + 5}{4} = - \frac{6}{4} = - 1.75 \\ n2 = \frac{ - 11 - 5}{4} = - 4$
Получили два составных корня -1,75= - 5×0,35 и - 4= - 2×2 => выражение является составным

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения 2n^2 + 11n + 12 является составным числом для любого n принадлежащего множеству натуральных чисел N, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Метод математической индукции состоит в том, чтобы доказать, что утверждение верно для базового случая (например, n = 1), а затем показать, что если утверждение верно для некоторого n, то оно верно и для n + 1.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1) Подставим n = 1 в выражение 2n^2 + 11n + 12: 2 * 1^2 + 11 * 1 + 12 = 2 + 11 + 12 = 25

Число 25 является составным, так как имеет делители 1, 5, 25.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого произвольного, но фиксированного значения n = k, выражение 2k^2 + 11k + 12 является составным числом и имеет делители, отличные от 1 и самого числа.

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1 Теперь докажем, что если утверждение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1.

Подставим n = k + 1 в выражение 2n^2 + 11n + 12: 2 * (k + 1)^2 + 11 * (k + 1) + 12 = 2 * (k^2 + 2k + 1) + 11k + 11 + 12 = 2k^2 + 15k + 25

Обратим внимание, что мы заменили (k + 1)^2 на (k^2 + 2k + 1) по формуле для квадрата суммы.

Теперь разложим полученное выражение на множители, чтобы проверить его на простоту: 2k^2 + 15k + 25 = k^2 + 14k + k + 25 = k(k + 14) + 1(k + 25)

Таким образом, мы видим, что 2k^2 + 15k + 25 можно разложить на произведение двух чисел: (k + 14) и (k + 1).

Заметим, что при k ≥ 1, (k + 14) и (k + 1) оба больше 1, так как k ≥ 1. Это означает, что у числа 2k^2 + 15k + 25 есть делители, отличные от 1 и самого числа, и оно не является простым. Следовательно, оно является составным числом.

Шаг 4: Заключение Мы показали, что если значение выражения 2n^2 + 11n + 12 является составным числом при n = k, то оно также будет составным числом при n = k + 1. Поскольку мы уже доказали, что оно является составным числом для n = 1 (базовый случай), то с помощью метода математической индукции мы доказали, что оно будет составным числом для любого n, принадлежащего множеству натуральных чисел N.