Question

Докажите тригонометрическую теорему: Для любого a ∈ [ -1 ; 1 ] выполняется равенство: arccos a + arccos ( -a ) = π

Answer 1

Cвойство:  $arccos(-a)=\pi -arccosa\; ,\; \; \; a\in [-1,1\, ]$

$arccosa+arccos(-a)=arccosa+(\pi -arccosa)=\\\\arccosa+\pi -arccosa=\pi \; ,\; \; \; a\in [-1,1\, ]$

Answer 2

Для доказательства данной тригонометрической теоремы воспользуемся геометрическими представлениями функций арккосинуса и синуса.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, где угол A равен arccos a, а угол B равен arccos (-a). Заметим, что a находится в интервале [-1, 1], что значит, что углы A и B лежат в первой или второй четвертях.

cssCopy code
                 C
                /|
               / |
              /  |
             /   |
            /____|
           A    B

Теперь давайте рассмотрим правую половину треугольника ABC, обозначим ее BC1. Для угла A (arccos a) это будет отрезок от точки B до точки C1, а для угла B (arccos (-a)) это будет отрезок от точки A до точки C1.

Так как синус угла — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а косинус — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе, то можно заметить, что длина отрезка BC1 равна a (так как это прилежащая сторона для угла arccos a) и длина отрезка AC1 равна -a (так как это прилежащая сторона для угла arccos (-a)).

Теперь рассмотрим треугольник AC1B. У него сумма углов равна π (пи), так как это свойство для всех треугольников. В этом треугольнике у нас есть угол в точке C1, равный π - угол A - угол B. Обозначим этот угол через С2.

Теперь сравним углы у треугольника AC1B и треугольника ABC:

1. Угол C1 в треугольнике AC1B соответствует углу C в треугольнике ABC (они противолежат одному и тому же отрезку BC1).
2. Угол A в треугольнике AC1B соответствует углу B в треугольнике ABC (они противолежат одной и той же стороне AC1).
3. Угол B в треугольнике AC1B соответствует углу A в треугольнике ABC (они противолежат одной и той же стороне BC1).

С учетом этого, мы можем записать следующее равенство:

Угол C2 + Угол A + Угол B = π

Заменим углы C2, A и B на их значения:

(π - arccos a - arccos (-a)) + arccos a + arccos (-a) = π

Заметим, что у нас в равенстве есть два одинаковых выражения с противоположными знаками, которые в сумме дают ноль:

π - π + arccos a + arccos (-a) = π

0 + arccos a + arccos (-a) = π

arccos a + arccos (-a) = π

Таким образом, мы доказали, что для любого a ∈ [-1; 1] выполняется равенство:

arccos a + arccos (-a) = π