Question

Сколько корней уравнения удовлетворяет неравенству sin3x+sin5x=sin4x ?

Answer 1

sin3x+sin5x=2sin((3x+5x)/2)cos((3x-5x)/2)=2sin4xcosx

2sin4xcosx-sin4x=0

sin4x(2cosx-1)=0

1)sin4x=0 ⇒ 4x=$\pi$n⇒ x=$\pi$n/4

2) cosx=1/2⇒x=+- 2$\pi$/3+ 2$\pi$n

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x) + sin(5x) = sin(4x), нужно сначала переписать его в виде:

sin(3x) + sin(5x) - sin(4x) = 0

Далее, используем тригонометрические тождества для суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Применяя это тождество к уравнению, получим:

2 * sin((3x + 5x) / 2) * cos((3x - 5x) / 2) - sin(4x) = 0

Упростим:

2 * sin(4x) * cos(-x) - sin(4x) = 0

Теперь заметим, что cos(-x) = cos(x), поэтому:

2 * sin(4x) * cos(x) - sin(4x) = 0

Теперь вынесем sin(4x) за скобку:

sin(4x) * (2 * cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение равное нулю. Таким образом, одно из слагаемых должно быть равно нулю:

1. sin(4x) = 0

Чтобы найти значения x для этого уравнения, мы знаем, что sin(4x) равен нулю при каждом кратном числе π/4, то есть:

4x = k * π/4, где k - целое число.

Отсюда x = k * π/16.

2. 2 * cos(x) - 1 = 0

Решаем уравнение:

2 * cos(x) = 1 cos(x) = 1/2

Такое значение cos(x) имеет два решения на интервале [0, 2π]:

x = π/3 и x = 5π/3

Итак, уравнение sin(3x) + sin(5x) = sin(4x) имеет три корня: x = k * π/16, где k - целое число, а также x = π/3 и x = 5π/3.