Question

Решить неравенства (с одз) 1) log7(x)+log7(x+1)<=log7(2) 2) 1+log2(x-2)>log2(x^2-3x+2) 3) lg^2( x )- 2lg (x)- 3<0

Answer 1

Смотри,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

Чтобы решить данные неравенства, нужно последовательно анализировать каждое из них. Но перед этим обратим внимание на области допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: Логарифм определен только для положительных аргументов. Таким образом, во всех логарифмических неравенствах аргументы логарифмов должны быть больше нуля.

1. log7(x) + log7(x + 1) <= log7(2):

Сначала объединим логарифмы справа по свойству логарифмов: log7(x * (x + 1)) <= log7(2).

Затем, чтобы избавиться от логарифмов, применим свойство равенства логарифмов: x * (x + 1) <= 2.

Решим квадратное неравенство: x^2 + x - 2 <= 0.

Факторизуем: (x - 1)(x + 2) <= 0.

Теперь анализируем знаки в интервалах:

1. x < -2: Оба множителя отрицательные, произведение положительное.
2. -2 < x < 1: Первый множитель отрицательный, второй положительный, произведение отрицательное.
3. x > 1: Оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, корни неравенства находятся в интервалах (-∞, -2] и [1, +∞).

2. 1 + log2(x - 2) > log2(x^2 - 3x + 2):

Изначально объединим логарифмы справа по свойству логарифмов: log2((x - 2) * (x^2 - 3x + 2)) < 1.

Затем применим свойство равенства логарифмов: (x - 2) * (x^2 - 3x + 2) < 2.

Решим квадратное неравенство: x^3 - 5x^2 + 7x - 4 < 0.

Нахождение точных корней данного уравнения сложная задача, их можно найти численными методами, но для определения интервалов, где неравенство выполняется, можно использовать график.

3. lg^2(x) - 2lg(x) - 3 < 0:

Обозначим lg(x) за t, тогда неравенство примет вид: t^2 - 2t - 3 < 0.

Решим квадратное неравенство: (t - 3)(t + 1) < 0.

Теперь анализируем знаки в интервалах:

1. t < -1: Оба множителя отрицательные, произведение положительное.
2. -1 < t < 3: Первый множитель отрицательный, второй положительный, произведение отрицательное.
3. t > 3: Оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, корни неравенства находятся в интервалах (-∞, -1] и [3, +∞).

Надеюсь, это поможет вам решить данные неравенства!