Question

Выяснить равносильны ли неравенства (+решить их): 1)5x-1≥2 и 5(x-1)>12)(x-2)(x+1)<3x+3 и x-2<3

Answer 1

5x>=3 < 5x-5>1
x=0,6 5x>6
x>1,2

Answer 2

Давайте решим данные неравенства:

1. $5x - 1 \geq 2$

Сначала добавим 1 к обеим сторонам:

$5x \geq 3$

Теперь разделим обе стороны на 5:

$x \geq \frac{3}{5}$

2. $5(x - 1) > 12$

Распишем скобку:

$5x - 5 > 12$

Добавим 5 к обеим сторонам:

$5x > 17$

Теперь разделим обе стороны на 5:

$x > \frac{17}{5}$

3. $(x - 2)(x + 1) < 3x + 3$

Раскроем скобки:

$x^2 - x - 2 < 3x + 3$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

Корни: $x = 5$ и $x = -1$

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется или не выполняется:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -1 & 5 & +\infty \\ \hline x^2 - 4x - 5 & - & 0 & - & + \\ \hline (x - 2)(x + 1) & - & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется на интервале $-1 < x < 5$.

4. $x - 2 < 3$

Добавим 2 к обеим сторонам:

$x < 5$

Теперь у нас есть решения всех данных неравенств:

1. $x \geq \frac{3}{5}$

2. $x > \frac{17}{5}$

3. $-1 < x < 5$

4. $x < 5$

Теперь давайте посмотрим на интервалы и найдем возможные пересечения:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Неравенство} & \text{Интервал решений} \\ \hline 1 & 5x - 1 \geq 2 & x \geq \frac{3}{5} \\ \hline 2 & 5(x - 1) > 12 & x > \frac{17}{5} \\ \hline 3 & (x - 2)(x + 1) < 3x + 3 & -1 < x < 5 \\ \hline 4 & x - 2 < 3 & x < 5 \\ \hline \end{array}$$

Теперь найдем пересечение всех интервалов, чтобы определить, есть ли общее решение для всех неравенств. Наименьший из всех указанных интервалов - это $x \geq \frac{3}{5}$. Анализируя таблицу, видно, что все неравенства обладают общим решением в интервале $x \geq \frac{3}{5}$.

Итак, общее решение для всех неравенств: $x \geq \frac{3}{5}$.