Question

Найти все значения a, при которых уравнение x²−7x+a²−64=0 имеет два корня разных знаков.

Answer 1

${x}^{2} - 7x + ({a}^{2} - 64) = 0$

1) Если а^2 - 64 = 0 , а^2 = 64 ; а = - + 8 , то
х^2 - 7х = 0
х•( х - 7 ) = 0
х = 0 ; 7

2) Если а =/ - + 8 , то

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если его дискриминант больше нуля ( D > 0 ) , 1 корень - D = 0 =>

D = 49 - 4 • ( a^2 - 64 ) = 49 - 4a^2 + 256 = - 4a^2 + 305

- 4a^2 + 305 > 0
a^2 - 305/4 < 0
( a - V305/2 )( a + V305/2 ) < 0

Решаем методом интервалов:

+++++( - V305/2)-------( V305/2 )+++++>X

a принадлежит ( - V305/2 ; V305/2 )

х1 = ( 7 + V( 305 - 4a^2 ) ) / 2

х2 = ( 7 - V( 305 - 4a^2 ) ) / 2

• Проверим разные знаки корней:

• { х1 < 0
{ х2 > 0

{ ( 7 + V( 305 - 4a^2 ) ) / 2 < 0
{ ( 7 - V( 305 - 4a^2 ) ) / 2 > 0

Решений нет

• { ( 7 + V( 305 - 4a^2 ) ) / 2 > 0
{ ( 7 - V( 305 - 4a^2 ) ) / 2 < 0

( 7 - V( 305 - 4a^2 ) ) / 2 < 0
7 - V( 305 - 4a^2 ) < 0 V( 305 - 4a^2 ) > 7
305 - 4а^2 > 49
4а^2 < 256
а^2 < 64
а^2 - 64 < 0
( а - 8 )( а + 8 ) < 0
+++++++(-8)---------(8)+++++++>а
- 8 < a < 8

____( - V305/2)//////(-8)/\/\/\/\/\/\/(8)//////(V305/2)___>a

Значит, - 8 < а < 8


ОТВЕТ: ( - 8 ; 8 )

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело два корня разных знаков, дискриминант должен быть положительным (D > 0). Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

В данном уравнении у нас a = 1 (коэффициент при x²), b = -7 (коэффициент при x) и c = a² - 64.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-7)² - 4 * 1 * (a² - 64) D = 49 - 4(a² - 64) D = 49 - 4a² + 256 D = 305 - 4a²

Теперь, чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет два корня разных знаков, необходимо найти все такие a, для которых D > 0:

305 - 4a² > 0

Теперь решим неравенство:

4a² < 305

a² < 305/4

a² < 76.25

Теперь возьмем корень от обеих частей (запомним, что мы ищем значения a, поэтому нам нужен модуль):

|a| < √76.25

|a| < 8.73

Таким образом, значения a должны быть в пределах -8.73 < a < 8.73, чтобы уравнение имело два корня разных знаков.