Question

Определите количество корней уравнения sin2x = √3sinx на промежутке [0;2π)

Answer 1

Круг можно не чертить

Answer 2

Для определения количества корней уравнения sin(2x) = √3sin(x) на промежутке [0; 2π), мы должны проанализировать значения функций sin(2x) и √3sin(x) на этом интервале и найти точки их пересечения.

Перепишем уравнение в виде: sin(2x) - √3sin(x) = 0

Сначала найдем периоды обеих функций на интервале [0, 2π):

Период sin(2x) = π (половина периода обычной синусоиды sin(x)) Период √3sin(x) = 2π (обычный период синусоиды sin(x))

Теперь рассмотрим поведение функций на промежутке [0, 2π) и найдем точки их пересечения:

1. sin(2x) - √3sin(x) = 0
2. sin(2x) = √3sin(x)

Заметим, что уравнение содержит два типа неизвестных: 2x и x. Поэтому, давайте заменим 2x на новую переменную t:

3. t = 2x

Теперь у нас есть уравнение относительно t:

4. sin(t) = √3sin(t/2)

Обратите внимание, что если t является решением уравнения 4, то x = t/2 тоже будет решением изначального уравнения sin(2x) = √3sin(x).

Теперь посмотрим на значения t, при которых выполняется уравнение 4, и соответствующие значения x:

5. t = 0, x = 0 (начало интервала)
6. t = π, x = π/2
7. t = 2π, x = π (конец интервала)

Поскольку мы находимся на промежутке [0, 2π), получаем три решения: x = 0, x = π/2 и x = π.

Ответ: Уравнение sin(2x) = √3sin(x) имеет три корня на промежутке [0, 2π), а именно x = 0, x = π/2 и x = π.