Question

Вычислить объем треугольной пирамиды АВС, А(0,2,-1); В(2,-1,1); С(2,2,-1); D(2,3,4)

Answer 1

$A(0,2,-1)\; ,\; B(2,-1,1)\; ,\; C(2,2,-1)\; ,\; D(2,3,4)\\\\\ovecrline {AB}=(2,-3,2)\; ,\; \overline {AC}=(2,0,0)\; ,\; \overline {AD}=(2,1,5)\\\\(AC,AB,AD)=\left|\begin{array}{ccc}2&0&0\\2&-3&2\\2&1&5\end{array}\right|=2\cdot \left|\begin{array}{cc}-3&2\\1&5\end{array}\right|=\\\\=2\cdot (-15-2)=-34\\\\V=\frac{1}{6}\cdot |-34|=\frac{34}{6}=\frac{17}{3}$

Answer 2

Если предположить что пирамида построена на сторонах AB, AC, AD, то её объем можно вычислить по формуле

V = 1/6*|AB * AC * AD| где AB, AC, AD - соответственные векторы

AB * AC * AD =det $\left[\begin{array}{ccc}2&-3&2\\2&0&0\\2&1&5\end{array}\right]$

вычисляем детерминант и получаем det = 34

В итоге V = 1/6*|34| =17/3

Answer 3

Чтобы вычислить объем треугольной пирамиды ABCD, образованной точками A(0, 2, -1), B(2, -1, 1), C(2, 2, -1) и D(2, 3, 4), мы можем воспользоваться формулой для объема тетраэдра по координатам его вершин:

Объем V = (1/6) * |det((B-A) × (C-A), (D-A))|

где |...| - обозначает модуль, det - определитель матрицы, и × представляет собой векторное произведение.

1. Найдем векторы AB, AC и AD:

AB = B - A = (2, -1, 1) - (0, 2, -1) = (2, -3, 2) AC = C - A = (2, 2, -1) - (0, 2, -1) = (2, 0, 0) AD = D - A = (2, 3, 4) - (0, 2, -1) = (2, 1, 5)

2. Теперь вычислим векторное произведение AB × AC:

AB × AC = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y, AB_z * AC_x - AB_x * AC_z, AB_x * AC_y - AB_y * AC_x) = ( (-3) * 0 - 2 * 0, 2 * 0 - 2 * 0, 2 * 0 - (-3) * 0 ) = (0, 0, 0)

3. Теперь вычислим определитель матрицы, составленной из векторов AB × AC и AD:

| det((B-A) × (C-A), (D-A)) | = | det(0, 0, 0, 2, 1, 5) | = |0|

4. Наконец, найдем объем пирамиды:

V = (1/6) * |det((B-A) × (C-A), (D-A))| = (1/6) * |0| = 0

Таким образом, объем треугольной пирамиды ABCD равен нулю. Это может указывать на то, что точка D(2, 3, 4) лежит в плоскости, образованной точками A, B и C, и треугольная пирамида ABCD является вырожденной (плоскостью).