Question

Помогите решить не равенство Log x(x+2)>log2 4

Answer 1

Смотри.........,.........

Answer 2

Способ решения нестандартный:

$\log _{x}(x+2)>\log _{2}4 \\ \\ ODZ: \left\{\begin{gathered} x +2 > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \\ \end{gathered} \right. \ \ \ ; \ \ x \in (0;1)\cup (1;+\infty)$

$\log_{x}(x+2) > 2$

$\log _{x}(x+2)> \log _{x}x^{2} \\ \\ \log _{x}(x+2)- \log _{x}x^{2} > 0$

По методу рационализации в силу строго монотонного возрастания функции y = logₐx, a > 1 и строго монотонного убывания функции y = logₐx, 0<a<1:

$\log_{a} f - \log _{a}g \ V \ 0 \ \Leftrightarrow \ (a-1)(f-g) \ V \ 0$

$(x-1)(x+2-x^{2}) > 0 \\ \\ (x-1)(x^{2}-x-2)$

Решим квадратное уравнение:

$x^{2}-x-2=0 \\ \\ D = 1 + 8 = 9 \\ \\ x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = 2 \ ; \ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = -1$

$(x-1)(x+1)(x-2)$

С учётом ОДЗ: (2)

[tex]x \in (1;2)

Ответ: x ∈ (1; 2)

Answer 3

Для решения данного неравенства, начнем с преобразования выражений, используя свойства логарифмов.

Исходное неравенство: $\log_x(x + 2) > \log_2 4$

Сначала упростим правую часть:

$\log_2 4 = 2$, так как $\log_2 4 = \log_2(2^2) = 2$

Теперь неравенство имеет вид:

$\log_x(x + 2) > 2$

Теперь используем определение логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$

Таким образом:

$x^2 > x + 2$

Теперь приведем всё в одну сторону:

$x^2 - x - 2 > 0$

Теперь факторизуем:

$(x - 2)(x + 1) > 0$

Теперь определим значения x, которые удовлетворяют этому неравенству.

1. $x - 2 > 0$ и $x + 1 > 0$ (обе скобки положительные):

$x > 2$ и $x > -1$ (не забываем, что это означает, что x больше 2 и больше -1)

Или

2. $x - 2 < 0$ и $x + 1 < 0$ (обе скобки отрицательные):

$x < 2$ и $x < -1$ (не забываем, что это означает, что x меньше 2 и меньше -1)

Таким образом, решением данного неравенства будет:

$x > 2$ или $x < -1$

Это значит, что все значения x, которые больше 2 или меньше -1, удовлетворяют исходному неравенству.