Question

Найти произведение корней уравнения (x^2+4)^2-27(x^2+4)-520=0

Answer 1

(х²+4)²-27(х²+4)-520=0

1) Замена:

х²+4 = у

ОДЗ: у>0

y² - 27y - 520 = 0

D= 27² - 4·1·(-520) = 729 + 2080 = 2809 = 53²

у₁ = (27-53)/2= -13 <0 не удовлетворяет ОДЗ

у₂ = (27+53)/2= 40 > 0

2) Обратная замена:

х²+4 = 40

х² = 40-4

х ² = 36

х₁ = - √36 = -6

х₂ = √36 = 6

3) Находим произведение корней данного уравнения:

х₁ · х₂ = - 6 · 6 = - 36

Ответ: х₁ · х₂ = - 36

Answer 2

Для нахождения произведения корней уравнения сначала найдем эти корни, а затем произведем их.

Данное уравнение выглядит следующим образом:

$(x^2 + 4)^2 - 27(x^2 + 4) - 520 = 0$

Для удобства заменим $y = x^2 + 4$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 27y - 520 = 0$

Теперь решим это уравнение квадратным способом:

Сначала найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 1, b = -27, c = -520$.

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-520) = 729 + 2080 = 2809$

Так как дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня.

Теперь найдем сами корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + \sqrt{2809}}{2} = \frac{27 + 53}{2} = 40$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - \sqrt{2809}}{2} = \frac{27 - 53}{2} = -13$

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения $y$:

1. $x^2 + 4 = 40$

$x^2 = 40 - 4$

$x^2 = 36$

$x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$

2. $x^2 + 4 = -13$

$x^2 = -13 - 4$

$x^2 = -17$

Так как уравнение не имеет действительных корней (так как нет действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу), мы рассматриваем только два корня $x = \pm 6$.

Теперь найдем произведение этих корней:

$P = (-6) \cdot 6 = -36$

Ответ: произведение корней уравнения $(x^2+4)^2 - 27(x^2+4) - 520 = 0$ равно -36.