Question

дано уравнение. выделить полный квадрат определить вид кривой и построить её:-4х^2+25y^2+16x+100y-16=0

Answer 1

Зная что $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$ находим числа, которые нужно добавить/отнять для получения полных квадратов в уравнении

$(-4x^2+16x-16)+16+(25y^2+100y+100)-100-16=-100 - (-4 + 2 x)^2 + (10 + 5 y)^2$

Это уравнение гиперболы.

Для наглядности можно сместить систему координат

$-2+x= \tilde x ; 2+y=\tilde y ; 25\tilde y^2-4\tilde x^2=100$

Если еще и сделать разворот, то получится каноническое уравнение гиперболы. Однако смысла в этом не вижу, с таким уравнением уже легко построить график. В исходной системе координат график будет как в прикрепленных файлах.

Answer 2

Для того чтобы выделить полный квадрат из данного уравнения, нам нужно переписать его так, чтобы уравнение имело следующий вид:

(Ax^2 + Bx) + (Cy^2 + Dy) = E

Для этого выполним следующие шаги:

1. Сгруппируем переменные x и y в соответствующих слагаемых: -4x^2 + 16x + 25y^2 + 100y = 16

2. Вынесем общие коэффициенты у переменных x и y в скобки: -4(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 4y) = 16

3. Теперь добавим недостающие члены в скобки, чтобы завершить квадратные трехчлены внутри скобок. Для этого возьмем половину коэффициента при x и при y, возведем их в квадрат и добавим внутрь скобок. Для x это 4/2 = 2, а для y это 4/2 = 2: -4(x^2 - 4x + 2^2) + 25(y^2 + 4y + 2^2) = 16 + 42^2 + 252^2

4. Упростим выражение внутри скобок: -4(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 64

Теперь у нас есть уравнение, выраженное в виде суммы квадратов. Видно, что коэффициент при квадрате x отрицателен, а при квадрате y положителен, что означает, что это уравнение представляет эллипс.

Общий вид уравнения эллипса с центром в точке (h, k) и полуосями a и b: (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

Сравним уравнение эллипса с полученным уравнением -4(x - 2)^2 + 25(y + 2)^2 = 64:

1. Коэффициент при квадрате x равен -4, что означает, что a^2 = 4, а a = 2.
2. Коэффициент при квадрате y равен 25, что означает, что b^2 = 25, а b = 5.
3. Центр эллипса смещен на (h, k) = (2, -2).

Теперь, чтобы построить эллипс, мы знаем, что его центр находится в точке (2, -2), и полуоси равны 2 и 5. Нарисуем оси координат и на них отметим центр эллипса. Затем нарисуем эллипс с полуосями 2 и 5, используя этот центр. Эллипс будет выглядеть так:

yamlCopy code
  |       *
5 |       
  | 
  |     
  |    *   (2, -2)
  | 
2 |  
  +-----------------
    2       4       6

Здесь '*' обозначает центр эллипса (2, -2), и эллипс проходит через точки, находящиеся на расстоянии 2 единицы вправо и влево от центра по оси x и на расстоянии 5 единиц вверх и вниз от центра по оси y.

Это и есть график эллипса, соответствующего данному уравнению.