Question

Дано уравнение. выделить полный квадрат определить вид кривой и построить её:-4х^2+25y^2+16x+100y-16=0. Подробно пожалуйста!

Answer 1

Запишем уравнение кривой в виде -4*(x²-4*x)+25*(y²+4*y)-16=0, или -4*[(x-2)²-4]+25*[(y+2)²-4]-16=0, или -4*(x-2)²+25*(y+2)²=100, или -(x-2)²/25+(y+2)²/4=1. Это есть уравнение гиперболы с центром симметрии в точке (2;-2), вещественной полуосью a=√25=5 и мнимой полуосью b=√4=2. Вершины гиперболы в данном случае лежат на прямой x=2, параллельной оси ординат. Одни из вершин имеет координаты (2;3), другая - координаты (2;-7). Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y-y0=b/a*(x-x0) и y-y0=-b/a*(x-x0), где x0 и y0 - координаты центра симметрии. В нашем случае x0=2, y0=-2, a=5,b=2, поэтому уравнения асимптот принимают вид: y+2=2/5*(x-2) и y+2=-2/5*(x-2).

Answer 2

В результате выделения полных квадратов получаем:  

-4(x - 2)² + 25(y + 2)² = 100  

Разделим все выражение на 100 :

(-1/25)(x - 2)² + (1/4)(y + 2)² = 1.

Параметры кривой.  

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:  

C(2; -2) и полуосями:  

a = 5 (мнимая полуось); b = 2 (действительная полуось) .

Вершины:(2; 0) и (2; -4).

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами  

Определим параметр c: c² = a² + b² = 25 + 4 = 29  

Тогда эксцентриситет будет равен:  e = c/a = √29/5.

Асимптотами гиперболы будут прямые:  y + 2 = +-(2/5))x - 2)

Директрисами гиперболы будут прямые:  (x - 2) = +-(25/√29).

Answer 3

Дано уравнение: -4x^2 + 25y^2 + 16x + 100y - 16 = 0. Чтобы выделить полный квадрат, мы сначала разделим уравнение на -4, чтобы получить положительный коэффициент для x^2. После этого перенесем все свободные члены на правую сторону уравнения:

x^2 - 4x + 25y^2 + 100y = 4.

Для того чтобы выделить полный квадрат для x, нам необходимо добавить квадратное дополнение к x. Дополнение это половина коэффициента перед x в квадрате, то есть (4/2)^2 = 2^2 = 4. Добавим 4 на обе стороны уравнения:

x^2 - 4x + 4 + 25y^2 + 100y = 8.

Теперь мы можем выделить полный квадрат для x:

(x - 2)^2 + 25y^2 + 100y = 8.

Для того чтобы выделить полный квадрат для y, мы должны разделить уравнение на 25, чтобы получить коэффициент перед y^2 равным 1:

(x - 2)^2 + y^2 + 4y = 8/25.

Теперь мы можем выделить полный квадрат для y, добавив квадратное дополнение к y. Дополнение это половина коэффициента перед y в квадрате, то есть (4/2)^2 = 2^2 = 4. Добавим 4 на обе стороны уравнения:

(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8/25 + 4.

Упростим правую сторону:

(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8/25 + 100/25.

(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 108/25.

Теперь у нас есть уравнение в виде полного квадрата. Оно представляет собой уравнение окружности с центром в точке (2, -2) и радиусом sqrt(108/25) = 6/5. Таким образом, кривая, заданная уравнением, является окружностью с центром в точке (2, -2) и радиусом 6/5.

Чтобы построить эту кривую, отметьте точку (2, -2) на координатной плоскости и нарисуйте окружность с радиусом 6/5 вокруг этой точки.