Question

Sin x + cos x=1-sin 2x. Решите уравнение

Answer 1

sinx + cosx = 1 - sin2x

Пусть  sinx + cosx = a , тогда  а² = 1 + sin2x  ⇒  sin2x = a² - 1

a = 1 - ( a² - 1 )

a² + a - 2 = 0

D = 1² - 4•(-2) = 9 = 3²

a₁ =  1   ⇒  sinx + cosx = 1  ⇒  √2sin( x + п/4 ) =  1  ⇒  sin( x + п/4 ) = √2/2

1)  x + п/4 = п/4 + 2пn  ⇒   x = 2пn ,  n ∈ Z

2)  x + п/4 = 3п/4 + 2пk  ⇒  x = п/2 + 2пk , k ∈ Z

a₂ = - 2  ⇒  sinx + cosx = - 2  ⇒  √2sin( x + п/4 ) = - 2  ⇒  sin( x + п/4 ) = - √2   ⇒   - 1 ≤  sint  ≤ 1  ⇒ ∅

ОТВЕТ: п/2 + 2пk, k ∈ Z ; 2пn, n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения sin x + cos x = 1 - sin 2x, начнем с преобразования правой части уравнения:

1 - sin 2x = 1 - (2sin x * cos x).

Теперь у нас есть уравнение:

sin x + cos x = 1 - (2sin x * cos x).

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

sin x + cos x + 2sin x * cos x - 1 = 0.

Теперь обратим внимание на левую часть уравнения. Заметим, что левая часть похожа на формулу для синуса суммы двух углов:

sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y.

Приравняем левую часть к sin (x + y), где x = x, а y = π/4:

sin (x + π/4) = sin x * cos (π/4) + cos x * sin (π/4).

sin (x + π/4) = (1/√2) * sin x + (1/√2) * cos x.

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

sin (x + π/4) - (1/√2) * sin x - (1/√2) * cos x - 1 = 0.

Теперь введем новые переменные u и v:

u = sin (x + π/4), v = cos (x + π/4).

Тогда уравнение можно переписать:

u - (1/√2) * v - (1/√2) * u - 1 = 0.

Теперь объединим подобные слагаемые:

(1 - 1/√2) * u - (1/√2) * v - 1 = 0.

Упростим:

(√2 - 1) * u - √2 * v - √2 = 0.

Теперь можем выразить v через u:

v = (√2 - 1) * u / √2 - √2.

Теперь вспомним, что u = sin (x + π/4) и v = cos (x + π/4):

cos (x + π/4) = (√2 - 1) * sin (x + π/4) / √2 - √2.

Мы знаем, что sin (π/4) = cos (π/4) = 1/√2, поэтому:

cos (x + π/4) = (√2 - 1) * (sin x + cos x) / (√2 - √2).

Теперь упростим дробь:

cos (x + π/4) = (√2 - 1) * (sin x + cos x) / 0.

В знаменателе у нас получается ноль, что недопустимо, так как косинус никогда не может быть бесконечным. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

В итоге, уравнение sin x + cos x = 1 - sin 2x не имеет решений.