Question

Докажите,что при любом натуральном n значение выражения 9ⁿ+17ⁿ-2 кратно 8

Answer 1

9ⁿ+17ⁿ-2≡1ⁿ+1ⁿ-2(mod 8)=1+1-2=0

9ⁿ+17ⁿ-2 сравнимо с 0 по модулю 8, а это и означает, что (9ⁿ+17ⁿ-2) ⋮ 8, ∀n∈N

Ч.т.д.

_____________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1) Подставим n = 1 в выражение и проверим его кратность 8:

9ⁿ + 17ⁿ - 2 = 9¹ + 17¹ - 2 = 9 + 17 - 2 = 24

24 явно кратно 8, так как 24 = 8 * 3. Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k значение выражения 9ⁿ + 17ⁿ - 2 кратно 8, то есть 9ⁿ + 17ⁿ - 2 = 8m для некоторого целого числа m.

Шаг 3: Доказательство для (k + 1) Теперь докажем, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для (k + 1). Подставим n = k + 1 в выражение и проверим его кратность 8:

9ⁿ + 17ⁿ - 2 = 9^(k + 1) + 17^(k + 1) - 2

Теперь воспользуемся предположением индукции: 9^k + 17^k - 2 = 8m

Теперь выразим 9^(k + 1) и 17^(k + 1) через 9^k и 17^k:

9^(k + 1) = 9^k * 9 17^(k + 1) = 17^k * 17

Теперь подставим полученные выражения в наше исходное уравнение:

9^(k + 1) + 17^(k + 1) - 2 = (9^k * 9) + (17^k * 17) - 2 = 9^k * 9 + 17^k * 17 - 2 = 9^k * 9 + 17^k * 17 - 2 + 8 - 8 = 9^k * 9 + 17^k * 17 + 6 - 8 = 9^k * 9 + 17^k * 17 + 8 * (3 - 1)

Теперь заметим, что у нас есть предположение индукции: 9^k + 17^k - 2 = 8m. Мы можем подставить это выражение:

9^(k + 1) + 17^(k + 1) - 2 = 9^k * 9 + 17^k * 17 + 8 * (3 - 1) = 8m + 8 * (3 - 1) = 8m + 8 * 2 = 8 * (m + 2)

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для (k + 1). Базовый случай нам уже известен. Поэтому, используя принцип математической индукции, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения 9ⁿ + 17ⁿ - 2 кратно 8.