Question

Y^2=x^2+6x+10Требуется решить уравнение в целых числах

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Данное уравнение является квадратным уравнением вида y^2 = x^2 + 6x + 10. Чтобы решить его в целых числах, мы можем использовать методы анализа и поиска целочисленных решений.

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме квадратного трехчлена:

x^2 + 6x + 10 - y^2 = 0

Теперь рассмотрим, когда левая часть равенства может быть представлена как разность двух квадратов (так как у нас квадратное уравнение). Запишем x^2 + 6x + 10 в виде полного квадрата:

x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x + 3)^2 + 1

Таким образом, уравнение принимает вид:

(x + 3)^2 + 1 - y^2 = 0

Теперь у нас есть сумма и разность двух квадратов: (x + 3)^2 + 1 и y^2. Это напоминает формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Применяя эту формулу, мы можем переписать уравнение:

[(x + 3) + y][(x + 3) - y] = 1

Теперь мы ищем целочисленные решения этого уравнения, то есть такие целые числа (x, y), которые удовлетворяют уравнению.

Так как 1 можно представить только как произведение 1 * 1, то мы можем записать два варианта:

1 * 1 = 1 (-1) * (-1) = 1

Теперь рассмотрим все возможные комбинации, когда (x + 3) + y = 1 и (x + 3) - y = 1, а также когда (x + 3) + y = -1 и (x + 3) - y = -1.

1. Первый случай:

(x + 3) + y = 1 (x + 3) - y = 1

Решим эту систему уравнений:

x + y + 3 = 1 x - y + 3 = 1

Вычтем первое уравнение из второго:

(x - y + 3) - (x + y + 3) = 1 - 1

x - y + 3 - x - y - 3 = 0

-2y = 0

y = 0

Теперь найдем x:

x + 0 + 3 = 1 x = 1 - 3 x = -2

Получили первую пару решений: x = -2, y = 0.

2. Второй случай:

(x + 3) + y = -1 (x + 3) - y = -1

Решим эту систему уравнений:

x + y + 3 = -1 x - y + 3 = -1

Вычтем первое уравнение из второго:

(x - y + 3) - (x + y + 3) = -1 - (-1)

x - y + 3 - x - y - 3 = -2

-2y = -2

y = 1

Теперь найдем x:

x + 1 + 3 = -1 x = -1 - 3 x = -4

Получили вторую пару решений: x = -4, y = 1.

Итак, уравнение имеет два целочисленных решения: (-2, 0) и (-4, 1).