Question

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2-4x+5 и y=5

Answer 1

Смотри.....................

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, в данном случае, графиками функций y = -x^2 - 4x + 5 и y = 5, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

1. Найдем точки пересечения: Приравняем уравнения и решим уравнение для x:

• x^2 - 4x + 5 = 5

Перенесем все в левую часть уравнения:

• x^2 - 4x = 0

Факторизуем:

x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем два значения x:

x = 0 и x = 4

2. Теперь вычислим соответствующие значения y, подставив x в любое из уравнений:

Для x = 0: y = -0^2 - 4 * 0 + 5 = 5

Для x = 4: y = -(4)^2 - 4 * 4 + 5 = -16 - 16 + 5 = -27

Теперь у нас есть две точки: A(0, 5) и B(4, -27).

3. Вычислим площадь фигуры между кривыми с помощью формулы Ньютона-Лейбница (интеграла):

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - это верхняя функция (в нашем случае, y = 5), а g(x) - нижняя функция (y = -x^2 - 4x + 5).

Теперь вычислим определенный интеграл от a = 0 до b = 4:

Площадь = ∫[0, 4] (5 - (-x^2 - 4x + 5)) dx Площадь = ∫[0, 4] (5 + x^2 + 4x - 5) dx Площадь = ∫[0, 4] (x^2 + 4x) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = (x^3/3 + 2x^2) |[0, 4] Площадь = [(4^3/3 + 2 * 4^2) - (0^3/3 + 2 * 0^2)] Площадь = [(64/3 + 32) - 0] Площадь = (64/3 + 32) Площадь = 64/3 + 96/3 Площадь = 160/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 - 4x + 5 и y = 5, составляет 160/3 или около 53.33 квадратных единиц.