Question

9x^2+16y^2=25Диофантовое уравнение за 10 класс

Answer 1

Разделив обе части уравнения на 25, получим уравнение:

9/25*x²+16/25*y²=1, или x²/(25/9)+y²/(25/16)=1. Так как 25/9=(5/3)², а 25/16=(5/4)², то данное уравнение можно записать в виде x²/(5/3)²+y²/(5/4)²=1. На плоскости ХОУ это уравнение есть уравнение эллипса вида x²/a²+y²/b²=1. В нашем случае a=5/3, b=5/4. А так как эллипс состоит из бесконечного числа точек, то и наше уравнение имеет бесконечное множество решений. Ответ: бесконечное множество решений.

Answer 2

Диофантовым уравнением называется уравнение, решение которого ищется в целых числах (целочисленных решениях). В данном случае у нас уравнение:

9x^2 + 16y^2 = 25

Мы хотим найти все целочисленные значения x и y, которые удовлетворяют данному уравнению.

Изначально, можно заметить, что числа 9 и 16 являются полными квадратами (3^2 и 4^2 соответственно). Важно заметить, что уравнение имеет такой вид, как сумма двух квадратов:

(3x)^2 + (4y)^2 = 25

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (0,0) и радиусом 5.

Теперь, чтобы найти целочисленные решения этого уравнения, можно перебрать все возможные значения (3x)^2 и (4y)^2, которые в сумме дают 25.

Возможные комбинации:

1. (3x)^2 = 1, (4y)^2 = 24 (не имеет целочисленных решений)
2. (3x)^2 = 4, (4y)^2 = 21 (не имеет целочисленных решений)
3. (3x)^2 = 9, (4y)^2 = 16 (x=±1, y=0)
4. (3x)^2 = 16, (4y)^2 = 9 (x=0, y=±1)
5. (3x)^2 = 21, (4y)^2 = 4 (не имеет целочисленных решений)
6. (3x)^2 = 24, (4y)^2 = 1 (не имеет целочисленных решений)

Таким образом, уравнение имеет два целочисленных решения: (x, y) = (1, 0) и (x, y) = (0, 1).