Question

Помогите пожалуйста!!! Решить систему уравнений: х+у+ху= -19; ху(х+у)= -20.

Answer 1

$\left \{ {\bigg{x+y+xy=-19} \atop \bigg{xy(x+y)=-20 \}} \right.$

Если в системе в двух уравнениях встречаются одинаковые выражения, то, для упрощения решения системы, можно произвести замену.

Пусть $x + y = a; \ xy = b$

Тогда

$\left \{ {\bigg{a+b=-19} \atop \bigg{ba=-20 \ \ \ }} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{b=-19 - a \ \ \ \ \ \ \ } \atop \bigg{\ (-19 - a)a=-20}} \right.\\-19a - a^{2} = -20\\a^{2} + 19a - 20 = 0\\a_{1} = -20; \ a_{2} = 1\\b_{1} = - 19 - (-20) = 19 + 20 = 1\\b_{2} = -19 - 1 = -20$

Вернёмся к замене:

$1) \ \left \{ {\bigg{x + y = -20} \atop \bigg{xy = 1\ \ \ \ \ \ \ }} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2) \ \left \{ {\bigg{x + y = 1} \atop \bigg{xy = -20}} \right.\\x = -20 - y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 1 - y\\(-20 - y)y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1 - y)y = -20\\-20y - y^{2} = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y - y^{2} = -20\\y^{2} + 20y + 1 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y^{2} - y - 20 = 0\\y_{1} = -10 - 3\sqrt{11}; \ \ \ \ \ \ \ \ y_{3} = -4; \ y_{4} = 5 \\y_{2} = -10 + 3\sqrt{11}$

$x_{1} = -20 - (-10 - 3\sqrt{11}) = -10 + 3\sqrt{11}\\x_{2} = -20 -(-10 + 3\sqrt{11}) = -10 - 3\sqrt{11}\\x_{3} = 1 - (-4) = 5\\x_{4} = 1 - 5 = -4$

Ответ: $(-10 + 3\sqrt{11}; \ -10 - 3\sqrt{11}); \ (-10 - 3\sqrt{11}; \ -10 + 3\sqrt{11});$

$(5; \ -4); \ (-4; \ 5)$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

1. х + у + ху = -19 ...........(1)
2. ху(х + у) = -20 ...........(2)

Для удобства обозначим х умноженное на у как z (т.е., z = ху). Тогда система примет вид:

1. х + у + z = -19 ...........(1')
2. z(х + у) = -20 ...........(2')

Теперь решим систему методом подстановки.

Шаг 1: Решим уравнение (2') относительно z: z(х + у) = -20 z = -20 / (х + у)

Шаг 2: Подставим найденное значение z в уравнение (1'): х + у - 20 / (х + у) = -19

Шаг 3: Приведем уравнение (1') к общему знаменателю: (х(х + у) + у(х + у) - 20) / (х + у) = -19

Шаг 4: Распишем скобки: (х^2 + ух + ух + у^2 - 20) / (х + у) = -19

Шаг 5: Упростим числитель: (х^2 + 2ух + у^2 - 20) / (х + у) = -19

Шаг 6: Перепишем уравнение с общим знаменателем: х^2 + 2ух + у^2 - 20 = -19(х + у)

Шаг 7: Распишем умножение: х^2 + 2ух + у^2 - 20 = -19х - 19у

Шаг 8: Перенесем все в одну сторону уравнения: х^2 + 2ух + у^2 + 19х + 19у - 20 = 0

Шаг 9: Полученное квадратное уравнение для переменной х: х^2 + (2у + 19)х + (у^2 + 19у - 20) = 0

Шаг 10: Решим полученное квадратное уравнение относительно х с помощью квадратного уравнения.

Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

Для нашего уравнения D = (2у + 19)^2 - 4(у^2 + 19у - 20)

D = 4у^2 + 76у + 361 - 4у^2 - 76у + 80

D = 441

Шаг 11: Найдем корни уравнения х с помощью формулы:

х = (-b ± √D) / 2a

х = (-(2у + 19) ± √441) / 2

Таким образом, у нас есть два корня для уравнения х:

1. х = (-(2у + 19) + 21) / 2у
2. х = (-(2у + 19) - 21) / 2у

Теперь мы можем подставить значения х в уравнение (2') и найти соответствующие значения у:

1. х = (21 - 2у - 19) / 2у х = (2 - 2у) / 2у х = 1 / у - 1

Подставим х обратно в уравнение (2'): (1 / у - 1) * у * (1 / у - 1 + у) = -20 (1 - у) * (1 + у) = -20 1 - у^2 = -20 -у^2 = -21 у^2 = 21 у = ±√21

Таким образом, получаем два значения для у:

1. у = √21
2. у = -√21

Теперь найдем соответствующие значения х:

1. х = 1 / √21 - 1 х ≈ 0.095

2. х = 1 / -√21 - 1 х ≈ -1.095

Итак, система имеет два решения:

1. х ≈ 0.095, у ≈ √21
2. х ≈ -1.095, у ≈ -√21