Question

7+7^2+7^3+7^4+...+7^2019 докозать что делится оно без остатка на 400

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото.

Для нахождения закономерности, выполним банальное деление первых членов данного ряда и найдём остатки. (== - это я сразу пишу остаток от деления )

1) 7/ 400 == 7

2) 49 / 400 == 49

3) 343 / 400 == 343

4) 2401 / 400 == 1

И вот замечаем уже, что то получается у нас остаток стал меньше чем был (1 < 343)

Далее для того, чтобы не считать 7^5 вспомним следующие свойство:

Если r1 и r2 - остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то a*b, a+b совпадают с остаткоми от деления на m чисел  r1*r2 ; r1+ r2

5) 2401 * 7 == 1 * 7 = 7

6) 2401 * 49 == 1 * 49 = 49

7) 2401 * 343 == 1 * 343  = 343

8) 2401 * 2401 == 1 * 1 = 1

Таким образом, думаю понятно, что если мы продолжим, то через каждое 4 число мы будем получать остатки 7 49 343 1

Тогда найдём сколько в ряду будет четвёрок (ну то есть разобьём ряд по 4 члена)

У нас в ряду 2019 чисел (2019 слагаемых, но я оперирую тем, что мы просто находим сумму ряда)

=> 2019 / 4 = 504 и 3 в остатки

Значит мы можем представить остатки этого огромного числа следующим образом

504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3  где r1,r2,r3 - остатки от деления чисел 7^2017   7^2018   7^2019

Если число 504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3 делит на 400 без остатка => и наше первоначальное число делится на 400 без остатка.

504 ( 400) + r1 + r2 +r2 : 400

Так как 504 * 400 : 400, то нам достаточно доказать, что r1+r2+r3 : 400

Найдём r1, r2, r3

Так как 7^2016 : 400 = 1 (в последней четвёрке это последнее число => остаток 1)

Значит

7^2017 - это первое число в новой четвёрке

=> r1 = 7  r2 = 49  r3 = 343

r1 + r2 + r3 = 399

а 399 не делится на 400 => всё число не делится на 400

Ответ: Данное число не делится на 400 без остатка. Остаток от деления = 1

Answer 2

To prove that the expression $7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2019}$ is divisible without remainder by 400, we need to show that it is a multiple of 400. In other words, we need to show that this expression can be written as $400k$ for some integer value of $k$.

Let's start by finding a pattern in the expression:

$7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2019}$

Notice that this is a geometric series with a common ratio of 7. The sum of a geometric series can be expressed as:

$S = a_1 * \dfrac{1 - r^n}{1 - r}$

Where: $S$ = sum of the geometric series $a_1$ = first term of the series $r$ = common ratio $n$ = number of terms in the series

In our case, $a_1 = 7$ and $r = 7$, and we need to find the sum up to $n = 2019$ terms.

$S = 7 * \dfrac{1 - 7^{2019}}{1 - 7}$

Now, we know that $7^{2019}$ is divisible by 400. To see this, we can apply the concept of modulo arithmetic.

We know that $7^2 = 49$, $7^3 = 343$, and so on. Each term after $7^2$ will end with the digits 49, 43, 01, or 07 in a repeating pattern. Since 400 is divisible by 100, any term in the sequence that ends with 00 is also divisible by 400.

Thus, $7^{2019}$ is divisible by 400.

Now, we can rewrite the sum as:

$S = 7 * \dfrac{1 - 7^{2019}}{1 - 7} = 7 * \dfrac{1 - (400k)}{1 - 7} = 7 * \dfrac{1 - 400k}{-6}$

Now, we need to prove that this expression $S$ is divisible by 400. To do that, we need to show that $S$ can be written as $400m$ for some integer value of $m$.

$S = 7 * \dfrac{1 - 400k}{-6} = -\dfrac{7(1 - 400k)}{6}$

Now, let's write $-\dfrac{7(1 - 400k)}{6}$ in the form $400m$:

$400m = -\dfrac{7(1 - 400k)}{6}$

Multiplying both sides by 6:

$2400m = -7(1 - 400k)$

Dividing both sides by -7:

$-\dfrac{2400m}{7} = 1 - 400k$

Now, we need to find a value of $m$ that satisfies the equation above.

Since $7$ and $2400$ are relatively prime (they don't have any common factors other than 1), we can conclude that the value of $m$ that satisfies the equation is:

$m = 7n$

Substitute $m = 7n$ into the equation:

$-\dfrac{2400(7n)}{7} = 1 - 400k$

Simplifying:

$-2400n = 1 - 400k$

Now, let's solve for $k$:

$k = \dfrac{1 + 2400n}{400}$

Since both $n$ and $k$ are integers, the right-hand side of the equation $\dfrac{1 + 2400n}{400}$ must be an integer. This is possible for specific values of $n$, such as $n = 1$, $n = 2$, and so on.

For $n = 1$:

$k = \dfrac{1 + 2400(1)}{400} = 7$

For $n = 2$:

$k = \dfrac{1 + 2400(2)}{400} = 13$

and so on...

Thus, we have found that for certain integer values of