Question

11 класс. Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями. Постройте соответствующие рисунки по данным: y=x², y=2√2 x

Answer 1

$y=x^2\; \; ,\; \; y=2\sqrt2\cdot x\\\\Tochki\; peresecheniya:\; \; x^2=2\sqrt2\cdot x\; ,\; \; x\cdot (x-2\sqrt2)=0\; ,\\\\x_1=0\; ,\; \; x_2=2\sqrt2\\\\S=\int\limits^{2\sqrt2}_0\, (2\sqrt2x-x^2)\, dx=(2\sqrt2\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\Big |_0^{2\sqrt2}=\\\\=\sqrt2\cdot (2\sqrt2)^2-\frac{(2\sqrt2)^3}{3}=8\sqrt2-\frac{8\cdot 2\sqrt2}{3}=\frac{8\sqrt2}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигур, ограниченных заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать функции, чтобы получить площадь между ними. Первым шагом является определение точек пересечения этих функций. Затем будем находить площади фигур, ограниченных этими функциями на соответствующих интервалах.

1. Найдем точки пересечения: Из уравнений y = x² и y = 2√2x, получим: x² = 2√2x

Для нахождения точек пересечения, приведем уравнение к одной степени: x² - 2√2x = 0 x(x - 2√2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x₁ = 0 x₂ = 2√2

2. Найдем соответствующие значения y: y₁ = (0)² = 0 y₂ = (2√2)² = 8

Теперь у нас есть точки пересечения: (0, 0) и (2√2, 8).

3. Построим график данных функций:

scssCopy code
   |
8  |       * (2√2, 8)
   |     
   |
   |
   |
   |
   |* (0, 0)
   -----------------------
    0  1  2  3  4  5  6  7  8

Теперь, чтобы найти площадь фигур между графиками функций, нужно вычислить интегралы на соответствующих интервалах.

Площадь фигуры между графиками y = x² и y = 2√2x на интервале [0, 2√2] будет равна разности интегралов этих функций на данном интервале:

Площадь = ∫[0, 2√2] (2√2x - x²) dx

Теперь найдем площадь:

Площадь = ∫[0, 2√2] (2√2x - x²) dx Площадь = [√2x² - (x³/3)] [от 0 до 2√2] Площадь = [2√2² - (2√2)³/3] - [0 - (0³/3)] Площадь = [8 - (8√2)/3] - 0 Площадь = 8 - (8√2)/3

Таким образом, площадь фигуры между графиками y = x² и y = 2√2x на интервале [0, 2√2] равна 8 - (8√2)/3 квадратных единиц.