Question

11 класс. Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями. Постройте соответствующие рисунки по данным: y=2√x, y=6, x=0

Answer 1

$\tt\displaystyle S_{\displaystyle OmAB} = \int\limits^6_0 {2\sqrt{x}~} \, dx =2\cdot\int\limits^6_0 {x^{\frac{1}{2}}} \, dx =2\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~~\bigg |^6 _0 =\frac{4\cdot\sqrt{x^3}}{3}~~\bigg |^6 _0=\frac{4x\cdot\sqrt{x}}{3}~~\bigg |^6 _0 =\\\\\\=\frac{24\sqrt{6}}{3} - 0 = \boxed{\tt8\sqrt{6}}$

Ответ

8√6

Answer 2

Для нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями, нам нужно проанализировать область, которую они ограничивают, и найти площади каждой из фигур в этой области.

Заданные линии:

1. y = 2√x (корень из x)
2. y = 6
3. x = 0

Для начала нарисуем графики этих функций, чтобы понять, как выглядит область, ограниченная этими линиями.

1. График функции y = 2√x:

Для построения графика этой функции, построим несколько точек и соединим их гладкой кривой:

Таблица значений:

x	y
0	0
1	2
4	4

Теперь построим график, учитывая точки (0, 0), (1, 2) и (4, 4). Остальные значения можно добавить для большей точности.

yamlCopy code
      |                   *
  6   |                  *
      |                * 
      |              *  
  5   |            *
      |          *     
      |        *     
  4   |      *        
      |    *      
      |  *      
  3   |*       
      |    
      |
  2   |*    
      |
      |  
  1   | *     
      |  
      | *  
  0   |_____________________
      0  1  2  3  4  5  6  7

2. График функции y = 6:

Функция y = 6 представляет собой горизонтальную прямую на уровне y = 6.

markdownCopy code
      |  *
  6   |  *  
      |  *  
      |  * 
  5   |  *  
      |  *  
      |  *  
  4   |  *  
      |  *  
      |  *  
  3   |  *  
      |  *  
      |  *  
  2   |  *  
      |  *  
      |  *  
  1   |  *  
      |  *  
      |  *  
  0   |__*__________________
      0  1  2  3  4  5  6  7

3. График линии x = 0:

Линия x = 0 представляет собой вертикальную линию, проходящую через x = 0.

markdownCopy code
      |  |
  6   |  |
      |  |
      |  |
  5   |  |
      |  |
      |  |
  4   |  |
      |  |
      |  |
  3   |  |
      |  |
      |  |
  2   |  |
      |  |
      |  |
  1   |  |
      |  |
      |  |
  0   |__|
      0  1  2  3  4  5  6  7

Теперь давайте определим область, которую ограничивают эти линии.

Область A: Часть графика y = 2√x, ограниченная линиями y = 6, x = 0.

Чтобы найти площадь области A, сначала найдем точку пересечения этих двух функций: Приравняем y = 2√x и y = 6: 2√x = 6

Теперь решим уравнение: √x = 3 x = 3^2 x = 9

Таким образом, точка пересечения находится при x = 9.

Теперь найдем площадь под графиком функции y = 2√x на интервале от x = 0 до x = 9 и между y = 2√x и y = 6. Для этого интегрируем функцию y = 2√x от 0 до 9:

Площадь под графиком y = 2√x на интервале [0, 9] равна: ∫[0, 9] 2√x dx = [x^(3/2)]/[3/2] |[0, 9] = 2 * 9^(3/2)/3 - 0 = 2 * 27/3 = 18

Площадь прямоугольника с основанием x = 9 и высотой y = 6 равна: Площадь = 9 * 6 = 54

Общая площадь области A: Площадь A = 18 + 54 = 72

Теперь у нас есть площадь области A.

Очень жаль, но в текстовом формате нельзя построить точные графики, но я надеюсь, что предоставленные таблицы и описание помогут вам понять, как выглядят эти функции и область, которую нужно изучить для нахождения площади.