Question

Найдите площади фигур, ограниченных следующими кривыми. Постройте соответствующие рисунки по данным; y=x², y=2x², y=2

Answer 1

/////////////////////////////////

Answer 2

Для того чтобы найти площади фигур, ограниченных данными кривыми, нужно найти точки их пересечения, а затем рассчитать площади различных областей между этими кривыми.

1. Найдем точки пересечения между кривыми: Для этого приравняем уравнения кривых между собой и решим полученное уравнение: y = x² и y = 2x²

   Приравниваем: x² = 2x²

   Переносим всё в левую часть уравнения: x² - 2x² = 0

   -x² = 0

   x = 0

   Таким образом, точка пересечения кривых имеет координаты (0, 0).

2. Построим соответствующие рисунки:

   Сначала построим графики каждой из кривых: y = x² - красный график y = 2x² - синий график y = 2 - зеленая горизонтальная линия на уровне y = 2

   Затем посчитаем площади различных фигур, ограниченных этими кривыми.

3. Посчитаем площадь первой фигуры: Это область между графиками y = x² и y = 2x² от x = 0 до точки пересечения (0, 0).

   Площадь фигуры = ∫[0, 0] (2x² - x²) dx = ∫[0, 0] x² dx = 0

4. Посчитаем площадь второй фигуры: Это область между графиками y = 2x² и y = 2 от x = 0 до точки пересечения (0, 0).

   Площадь фигуры = ∫[0, 0] (2 - 2x²) dx = ∫[0, 0] (2 - x²) dx = 2x - (x³/3) |[0, 0] = 2(0) - (0) = 0

5. Посчитаем площадь третьей фигуры: Это область между графиками y = 2 и y = x² от x = 0 до точки пересечения (0, 0).

   Площадь фигуры = ∫[0, 0] (2 - x²) dx = 2x - (x³/3) |[0, 0] = 2(0) - (0) = 0

Таким образом, все три фигуры имеют площадь равную нулю.

Построим соответствующие графики:

scssCopy code
     |   
   2 |                    +-- (0,0)  (Фигура 1)
     |                  /
   1 |                 /
     |                / 
   0 |------+---------+--------------- (Фигура 2)
     |      |         |
      -1     0         1
         -2        0

В данном случае, фигура 1 и фигура 2 занимают область между кривыми, но их площади равны нулю, так как эти области находятся ниже оси x и ниже горизонтальной линии y=2 и поэтому области считаются отрицательными (при интегрировании учитывается модуль). Фигура 3 (заключенная между кривой y=x^2 и горизонтальной линией y=2) также имеет площадь равную нулю, так как находится ниже горизонтальной линии y=2.