Question

Решите уравнение: 1) x=32+2√x+3 2) (x²-5x+2)(x²-5x-1)=28

Answer 1

Оба уравнения решаются с помощью замены

В первом уравнении мы ввели замену t = √x

Во втором уравнении t = x²-5x+2

$1.\\\\x - 2\sqrt{x} -35 = 0\\t = \sqrt{x};\;\;t > 0\\t^2-2t-35 = 0\\\\\left \{ {{t_1+t_2=2} \atop {t_1*t_2=-35}} \right. \Rightarrow t_1 = 7,\;\; t_2 = -5 < 0\\\\\sqrt{x} = 7 \Rightarrow x = 49$

Ответ: 49

$2.\\\\(x^2-5x+2)(x^2-5x-1) = 28\\(x^2-5x+2)(x^2-5x +2 -3) = 28\\\\x^2-5x+2 = t\\t(t-3) = 28\\t^2-3t - 28 = 0 \\\\\left \{ {{t_1+t_2=3} \atop {t_1\cdot t_2=-28}} \right. \Rightarrow t_1 = 7, \;\;t_2 = -4\\\\a) \;x^2-5x+2 = 7\\x^2-5x-5 = 0\\D = 25 -4\cdot(-5) = 45\\\\x_{1,2} = \frac{5\pm 3\sqrt{5}}{2}\\\\b)\;x^2-5x+2 = -4\\x^2-5x+6 = 0\\\\\left \{ {{x_1+x_2=5} \atop {x_1\cdot x_2=6}} \right. \Rightarrow x_1 = 3, \; x_2 = 2$

Ответ: $\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}, \;\; \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}, \;\; 3, \;\;2$

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. Уравнение: x = 32 + 2√x + 3

Для начала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x - 2√x = 35

Теперь попробуем привести уравнение к квадратному виду. Введем новую переменную y = √x:

Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 2y = 35

Теперь добавим 35 на обе стороны уравнения:

y^2 - 2y + 35 = 0

Это уравнение квадратного типа. Давайте решим его с помощью квадратного уравнения:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 35 = 4 - 140 = -136

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и следовательно, у исходного уравнения тоже нет действительных корней.

2. Уравнение: (x² - 5x + 2)(x² - 5x - 1) = 28

Раскроем скобки:

x^4 - 5x^3 - x^2 + 5x^3 - 25x^2 + 5x + 2x^2 - 10x - 2 = 28

Упростим:

x^4 - 18x^2 - 5x + 2 = 28

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x^4 - 18x^2 - 5x - 26 = 0

Это уравнение четвертой степени. Решение этого уравнения в общем виде может быть довольно сложным. Если вам нужны действительные числовые значения x, то лучше воспользоваться численными методами или графическими методами для нахождения корней.