Question

в арифметической прогрессии сумма третьего и девятого членов равна 8 найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии

Answer 1

формула арифм прогрессии  аn = a1 + (n - 1) * d

а3 = a1 + (3 - 1) * d = a1 + 2 * d

а9 = a1 + (9 - 1) * d = a1 + 8 * d

а3 + а9 = a1 + 2 * d + a1 + 8 * d = 2 * а1 + 10 * d = 8

Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 11

S11 = (2 * a1 + d * (11 - 1)) * 11 / 2 = (2 * a1 + d * 10) * 11 / 2

(2 * a1 + d * 10) * 11 / 2 = 8 * 11 / 2 = 4 * 11 = 44

ответ 44

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти первый член (a) и разность (d) арифметической прогрессии, а затем по формуле для суммы первых n членов арифметической прогрессии вычислить сумму первых 11 членов.

Обозначим третий член как a3 и девятый член как a9.

Так как сумма третьего и девятого членов равна 8, то у нас есть следующее уравнение:

a3 + a9 = 8

Формула для n-го члена арифметической прогрессии:

an = a + (n-1) * d

Третий член:

a3 = a + 2 * d

Девятый член:

a9 = a + 8 * d

Теперь мы можем составить систему уравнений:

1. a3 + a9 = 8
2. a3 = a + 2 * d
3. a9 = a + 8 * d

Из уравнений 2 и 3 мы можем выразить a и d:

a = a3 - 2 * d a = a9 - 8 * d

Приравниваем эти два выражения:

a3 - 2 * d = a9 - 8 * d

Теперь используем уравнение 1:

(a3 - 2 * d) + a9 = 8

Подставляем a9 = a3 + 2 * d:

(a3 - 2 * d) + (a3 + 2 * d) = 8

Упрощаем:

2 * a3 = 8

Теперь находим a3:

a3 = 8 / 2 a3 = 4

Теперь находим a:

a = a3 - 2 * d a = 4 - 2 * d

Мы нашли значения a и a3, теперь найдем d:

a9 = a + 8 * d

Подставляем выражение для a:

a9 = (4 - 2 * d) + 8 * d

Упрощаем:

a9 = 4 + 6 * d

Теперь у нас есть значения a3 = 4 и a9 = 4 + 6 * d.

Теперь, чтобы найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, используем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = (n/2) * (a + an)

где n = 11, a = первый член, an = 11-й член.

Первый член a равен 4 - 2 * d.

11-й член an равен a + (n-1) * d, подставляем значения:

an = (4 - 2 * d) + (11-1) * d an = 4 - 2 * d + 10 * d an = 4 + 8 * d

Теперь вычисляем сумму:

S11 = (11/2) * (a + an) S11 = (11/2) * ((4 - 2 * d) + (4 + 8 * d)) S11 = (11/2) * (8 + 6 * d)

Таким образом, сумма первых 11 членов этой арифметической прогрессии равна:

S11 = 11 * (8 + 6 * d) / 2 S11 = 11 * (8 + 6 * d) / 2 S11 = 11 * (4 + 3 * d)

Мы не знаем точного значения разности (d), поэтому сумма S11 будет зависеть от значения разности d. Если бы у нас было значение разности (d), мы могли бы вычислить окончательное значение суммы S11.