Question

Вася выписал все такие числа x для которых оба числа x+ (1/x) (если то в скобке дробь) и 6x-x^2 являются целыми. Найдите сумму модулей чисел, выписанных Васей.

Answer 1

x + (1/x) - целое   при х= ±1

При этих значениях

6х - х²  тоже целое.

|1| + |-1| = 1 + 1 = 2

О т в е т. 2

Answer 2

Давайте разберемся, какие значения может принимать выражение x + (1/x), чтобы оно было целым числом. Предположим, что x + (1/x) = k, где k - целое число.

Теперь перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

x^2 + 1 = kx.

Поскольку это квадратное уравнение, мы можем привести его к стандартному виду:

x^2 - kx + 1 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен:

D = (-k)^2 - 4 * 1 * 1 = k^2 - 4.

Чтобы уравнение имело целочисленные корни, дискриминант должен быть полным квадратом целого числа. То есть, k^2 - 4 = m^2, где m - целое число.

Теперь решим это уравнение относительно k:

k^2 - m^2 = 4.

(k + m)(k - m) = 4.

Теперь представим 4 как произведение двух чисел:

4 = 1 * 4 = 2 * 2.

Таким образом, у нас есть две системы уравнений:

1. k + m = 4, k - m = 1.

2. k + m = 2, k - m = 2.

Решим обе системы:

1. Для первой системы:

k = (4 + 1) / 2 = 5, m = (4 - 1) / 2 = 3.

2. Для второй системы:

k = (2 + 2) / 2 = 2, m = (2 - 2) / 2 = 0.

Теперь найдем все значения x, которые соответствуют этим k:

1. Для k = 5:

x + (1/x) = 5, x^2 + 1 = 5x, x^2 - 5x + 1 = 0.

Данное квадратное уравнение имеет два корня, но только один из них является целым числом:

x = (5 + √21) / 2 или x = (5 - √21) / 2.

2. Для k = 2:

x + (1/x) = 2, x^2 + 1 = 2x, x^2 - 2x + 1 = 0.

Это уравнение имеет один корень, который также является целым числом:

x = 1.

Таким образом, Вася выписал два числа: x = 1 и x = (5 - √21) / 2.

Теперь найдем сумму модулей этих чисел:

|1| + |(5 - √21) / 2|.

Калькулятором или программой для вычисления чисел с плавающей точкой мы получаем, что:

|(5 - √21) / 2| ≈ 0.79.

Итак, сумма модулей чисел, выписанных Васей, равна:

|1| + |(5 - √21) / 2| ≈ 1 + 0.79 ≈ 1.79.