Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж) y=0,5x^2,y=0 x=1, x=3

Answer 1

S = ∫ 0,5x^2 dx [1;3] = 0,5 ∫ x^2 dx [1;3] = 1/2* 1/3 * x^3  [1;3] =

= 1/6 * ( 3^3-1^3 ) = 1/6 * ( 27 -1 ) = 26/6 = 13/3 ≈ 4,3

ответ

S =  13/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, сначала нужно построить график функций и определить граничные точки.

У нас есть следующие функции и линии:

1. y = 0.5x^2
2. y = 0
3. x = 1
4. x = 3

Для начала, нарисуем график функций y = 0.5x^2 и y = 0 вместе с вертикальными линиями x = 1 и x = 3. Важно заметить, что функция y = 0.5x^2 является параболой с ветвями, направленными вверх.

Для удобства воспользуемся системой координат и нарисуем график на бумаге или в программе для рисования.

После построения графика, фигура, которую мы ищем, будет образована четырьмя частями:

1. Часть параболы между вертикальными линиями x = 1 и x = 3.
2. Часть параболы между параболой и осью x (это будет область под параболой между вертикальными линиями).
3. Отрезок на оси x между x = 1 и x = 3.
4. Отрезок на оси y между y = 0 и параболой.

Теперь давайте вычислим площади каждой из этих частей и сложим их, чтобы получить общую площадь фигуры.

1. Часть параболы между x = 1 и x = 3: Интегрируем функцию y = 0.5x^2 от x = 1 до x = 3: ∫(0.5x^2) dx = [0.5 * (x^3) / 3] | от 1 до 3 = [0.5 * (3^3) / 3] - [0.5 * (1^3) / 3] = (0.5 * 27 / 3) - (0.5 * 1 / 3) = 13.5 - 0.166666... ≈ 13.3333

2. Площадь под параболой между x = 1 и x = 3: Эта площадь совпадает с площадью, которую мы уже посчитали в предыдущем пункте: Площадь под параболой = 13.3333

3. Площадь прямоугольника на оси x: Ширина прямоугольника = (3 - 1) = 2 Высота прямоугольника = 0 (по оси y) Площадь прямоугольника = ширина * высота = 2 * 0 = 0

4. Площадь прямоугольника на оси y: Ширина прямоугольника = (0.5 * 3^2) = 4.5 (высота параболы на x = 3) Высота прямоугольника = 0 (между y = 0 и параболой) Площадь прямоугольника = ширина * высота = 4.5 * 0 = 0

Теперь сложим все площади: Общая площадь = Часть параболы + Площадь под параболой + Площадь прямоугольника на оси x + Площадь прямоугольника на оси y Общая площадь ≈ 13.3333 + 13.3333 + 0 + 0 ≈ 26.6666

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0.5x^2, y = 0, x = 1 и x = 3, составляет примерно 26.6666 квадратных единиц.